LEARN THINGS THE EASY WAY
English

ব্যাসিক জ্যামিতি (Geometry Basics)

জ্যামিতি হলো গণিত শাস্ত্রের একটি বস্তু সংশ্লিষ্ট অংশ (object-oriented part); আর ব্যাসিক জ্যামিতি হলো জ্যামিতির ভিত্তি (foundation)।

এই টিউটোরিয়ালটির শেষে-

জ্যামিতির মৌলিক উপাদানগুলোর ধারণা (basic geometry concepts) পাওয়া যাবে।

জ্যামিতির মৌলিক উপাদানগুলোর সংজ্ঞাসমূহ (basic geometry definitions) শিখা যাবে।

ব্যাসিক জ্যামিতির চিত্র ও বস্তুর গঠন সম্পর্কে সম্মক ধারণা পাওয়া যাবে।

ব্যাসিক জ্যামিতি শিখণ সত্যিই খুব সহজ। একদম উপভোগ করার মত।

জ্যামিতির মৌলিক ধারণাসমূহ (Basic Geometry Concepts)

আকার ও আকৃতির ভিত্তিতে বস্তুর গঠন প্রকৃতি ও বস্তুর আপেক্ষিক অবস্থানই(relative position of figures) হলো জ্যামিতি, যা গণিত শাস্ত্রের একটি অন্যতম অংশ। আবার অসীম শুণ্য -এর ধারণা ও বৈশিষ্ট্য (properties of space) জ্যামিতির অন্তর্গত।

যারা বিভিন্ন প্রকার আকার ও আকৃতির বস্তু নিয়ে খেলা করতে পছন্দ করে অথবা আঁকাআঁকি করতে ভালবাসে, জ্যামিতি আসলে তাদের জন্যই।

তাহলে দেখি, কিভাবে আমরা ধাপে ধাপে জ্যামিতি শিখতে পারি।

একটু সোজা হয়ে বসি! এই জ্যামিতির টিউটোরিয়ালটিকে যদি আমরা ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে বিভক্ত করে বিশ্লেষণ করি, তাহলে কেমন হয়। ঠিক আছে।

জ্যামিতিক মাত্রা (Geometric Dimensions)

জ্যামিতি বস্তুর আপেক্ষিক অবস্থান নিয়ে আলোচনা করে। ব্যাসিক জ্যামিতি শিখতে প্রথমেই চলে আসে জ্যামিতিক মাত্রা কি?

বিন্দু হলো শুণ্য মাত্রা (zero dimensional) বা মাত্রাবিহীন (no dimensional) জ্যামিতির অন্তর্গত। বিন্দু কেবল অবস্থান ছাড়া আর কিছুই নয় (A point is nothing but a position)। এর কোন দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা বা বেধ নেই।

আবার একমাত্রিক (one dimensional) জ্যামিতি দুরত্ব সম্পর্কিত। অর্থাৎ দুরত্ব হলো একমাত্রিক জ্যামিতির অন্তর্ভুক্ত। এর শুধু দৈর্ঘ্য আছে। প্রস্থ, উচ্চতা বা বেধ নেই।

দ্বিমাত্রিক (two dimensional) জ্যামিতি ক্ষেত্রফলের সাথে সম্পৃক্ত। কারণ এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে।

ত্রিমাত্রিক (three dimensional) জ্যামিতি আয়তন বা অসীম শুণ্য -এর সাথে সম্পর্কিত। কারণ এর তিনটি মাত্রা- দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে।

বিভিন্ন মাত্রিক বস্তু গঠন প্রক্রিয়া (Origin of Shapes)

Point Points make Line Lines make Plane L H W Planes make Solid

জ্যামিতির মৌলিক উপাদানগুলোর সংজ্ঞাসমূহ

জ্যামিতির মৌলিক উপাদানগুলোর মধ্যে বিন্দু, রেখা, সমতল, কোণ, বক্ররেখা, তল (সমতল বা বক্রতল) এবং শুণ্যস্থান (space) বা ঘনবস্তু অন্তর্ভুক্ত।

রেখা

একাধিক বিন্দু উভয়দিকে সোজাসুজি অসীম পর্যন্ত পরস্পর সংযুক্ত হয়ে যে পথ তৈরি হয়, তাই রেখা। (A line is the set of points that extends along a straight path infinitely on and on its opposite direction.) রেখার চলার পথ সোজা (straight) বা সরল, তাই একে সরলরেখাও বলা হয়। সুতরাং বলা যায়, রেখা হলো উভয়দিকে সোজাসুজি বিন্দু চলার পথ।

অন্যভাবে বলা যায় ...

রেখা হলো প্রস্থ বা বেধ বিহীন একটি দৈর্ঘ্য যা উভয়দিকে সোজাসুজি অসীম পর্যন্ত ক্রমবর্ধমান। রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই। এটি সবসময় অসীম পর্যন্ত ক্রমবর্ধমান।

সুতরাং একটি রেখার মধ্যে নিম্নের ধারণা দুইটি অন্তর্ভুক্তঃ

জ্যামিতিতে রেখাংশ রশ্মি সম্পর্কে সুস্পষ্ট ধারণা পাওয়ার জন্য অন্য দুইটি টিউটোরিয়াল সন্নিবেশিত করা হয়েছে।

অতএব, এক কথায় বলতে গেলে- রেখা হলো একদম সোজা উভয়দিকে ক্রমবর্ধমান প্রান্তহীন পথবিশেষ। সুতরাং এর কেবল দৈর্ঘ্য আছে। তাই রেখা হলো একমাত্রিক জ্যামিতির অন্তর্ভুক্ত। চিত্রে একটি রেখা দেখানো হয়েছে যা উভয়দিকে অসীম পর্যন্ত ক্রমবর্ধমান।

মনেকরি, একটি রেখার উপর A ও B দুইটি ভিন্ন বিন্দু।

একে পড়া হয় AB এবং লিখে বুঝানো হয় নিম্নভাবেঃ

সমতল

এক সেট রেখাকে একটার পর একটা সাজালে একটি সমতল উৎপন্ন হয়।

সমতল

অন্নভাবে বলা যায়, সমতল হল দ্বি-মাত্রাবিশিষ্ট উঁচু নিচু নয় এমন তল (সমান তল =flat surface) যা উভয়দিকে অসীম পর্যন্ত ক্রমবর্ধমান। এর কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে। তাই সমতল দ্বিমাত্রিক জ্যামিতির অন্তর্ভুক্ত।

সুতরাং সমতলের মাত্রা দুটি হল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ।

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ অবশ্যই একই সমতলে থাকবে।

এটি দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর অসীম পর্যন্ত বিরাজমান।

সকল দ্বিমাত্রিক চিত্র সমতলে অবস্থিত।

চিত্রে তিনটি সমান্তরাল সমতল দেখানো হলো।

চিত্রে তিনটি সমান্তরাল সমতল তিনটি ভিন্ন স্তরে দেখা যাচ্ছে।

কোণ

দুইটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু একই বা সাধারণ (common) হলে উৎপন্ন চিত্রকে কোণ বলে। রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু বলা হয়। আর সাধারণ বিন্দুটি কোণের শীর্ষ বলে পরিচিত। রশ্মি দুইটি একে অপরের সাথে কী পরিমানে আনত, তা দিয়েই কোণের পরিমাপ বুঝানো হয়।

বক্ররেখা

বক্ররেখা হলো একটি সোজা বা বাঁকা পথ যা কতকগুলো বিন্দু পরস্পর যুক্ত হয়ে তৈরি হয়। বক্ররেখা সোজা বা বাঁকা হতে পারে। বক্ররেখাটি যদি সোজা হয়, তাহলে এটি তখন রেখা বা সরলরেখা হয়ে যায়। তাই একটি রেখা সবসময়ই একটি বক্ররেখা। যেমন একটি বর্গক্ষেত্র সবসময়ই একটি আয়তক্ষেত্র। আবার বক্ররেখাটি যদি সোজা না হয়, তাহলে এটি প্রতিনিয়তই দিক পরিবর্তন করে। বক্ররেখার কেবল দৈর্ঘ্য আছে। সুতরাং বক্ররেখা একমাত্রিক জ্যামিতির অন্তর্ভুক্ত।

তল

তল হলো একটি দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠ যা সমান (উঁচু নিচু নয় এমন) বা বক্র হতে পারে। যেমন বইয়ের একটি পৃষ্ঠা হলো একটি সমান তল বা সমতল কিন্তু বইয়ের ঐ পাতাটি দিয়ে ঝালমুড়ি ওয়ালা যখন ঝালমুড়ির ঠোঙা তৈরি করে, তখন ঠোঙার তল হয় বক্রতল। আবার বৃত্ত ক্ষেত্রের তল হলো একটি সমতল। কিন্তু গোলক এর তল হল বক্রতল। অতএব তল হলো সমতলের সাধারণ রূপ। বিপরীতক্রমে, সমতল হলো তলের একটি বিশেষ রূপ। (A surface (তল) is a generalization of plane (সমতল) and a plane is a particular position of surface.)

ফাঁকা স্থান বা অসীম শুণ্য(Space)

ফাঁকা স্থান বা অসীম শুণ্য হলো সমস্ত ত্রিমাত্রিক বিন্দুর সেট। অসীম শুণ্যের মধ্যে রয়েছে যেমন অসীম ত্রিমাত্রিক বিন্দু তেমনিভাবে রয়েছে অসীম সমতল। এক কথায় বলা যায়, অসীম শুণ্য হলো অসীম ত্রিমাত্রিক বিস্তৃতি।

অতএব, স্পেসে বা ফাঁকা স্থানে বা শুণ্যে সব বস্তুরই একটি আপেক্ষিক অবস্থান রয়েছে। তেমনিভাবে সেখানে সব বস্তুরই একটি আপেক্ষিক দিকও রয়েছে।

স্পেসে কোন বস্তুকেই বলা হয় ঘনবস্তু (solids)।

ব্যাসিক জ্যামিতির ধরণ (Types of Basic Geometry)

ব্যাসিক জ্যামিতিকে সাধারণভাবে দুইভাগে ভাগ করা যায়ঃ

সমতল জ্যামিতি (Plane Geometry)

সমতল জ্যামিতি মূলতঃ দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিক চিত্রসমূহ নিয়েই গঠিত।

সমতল

গণিত শাস্ত্রে সমতল জ্যামিতি বলতে ইউক্লিডিও সমতল জ্যামিতিকে বুঝায়।

বিন্দু, রেখা, ত্রিভূজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত, পরাবৃত্ত ইত্যাদি দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিক চিত্রসমূহ সমতল জ্যামিতির অন্তর্গত। এইসব জ্যামিতিক চিত্রসমূহ এক টুকরা কাগজের উপর বা সমতলের উপর আঁকা যায়।

সমতল জ্যামিতি আবার হাই স্কুল জ্যামিতি নামে পরিচিত কারণ সারা দুনিয়ার হাই স্কুলে সমতল জ্যামিতি পড়ানো হয়।

ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)

ঘন জ্যামিতি ত্রিমাত্রিক জগতের বিভিন্ন প্রকার বস্ত নিয়ে আলোচনা করে।

ঘন বস্তুর তিনটি ধার থাকে - যথাঃ দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা।

এটি মূলতঃ পরিমাপ বিশেষ করে ঘনবস্তুর আয়তন নিয়ে আলোচনা করে।

আয়তাকার ঘনবস্তু, ঘনক, কোণক, সিলিন্ডার, প্রিজম, পিরামিড, গোলক ইত্যাদি সবই ঘনবস্তু যা ত্রিমাত্রিক জগতে গঠিত হয়।

উইকিপিডিয়াতে জ্যামিতি সম্পর্কে আরও অনেক কিছু জানা যায়।

ঘনকের সম্মুখ (faces), ধার ও শীর্ষসমূহ দেখা যাচ্ছে।

Solid Geometry Example

×

একটি প্রিজম

হ্যাঁ, একটি প্রিজম দেখা যাচ্ছে।

সমতল জ্যামিতির চিত্র






চতুর্ভুজ

Irregular Quadrilateral (UK)

Trapezium (US)












ঘন জ্যামিতিক বস্তু ও চিত্র






Last revised this page (day/month/year): 03/07/18