LEARN THINGS THE EASY WAY
English

ত্রিভুজ কাকে বলে - ত্রিভুজ

এই টিউটোরিয়ালটি শেষে -

ত্রিভুজ কাকে বলে - তা বর্ণনা করতে পারা যাবে।

ত্রিভুজ কত প্রকার তথা কোণ ও বাহু ভেদে ত্রিভুজের প্রকারভেদ করতে পারা যাবে।

সব ধরণের ত্রিভুজকে সংজ্ঞায়িত করতে পারা যাবে।

বিভিন্ন ধরনের ত্রিভুজ চিত্রসহ বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।

ত্রিভুজ

তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ আকার বা আকৃতিকে ত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজ গঠিত হওয়ার পর রেখাংশ তিনটির প্রত্যেকটিকে ত্রিভুজের বাহু বলে। আর এই ত্রিভুজ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।

ইউক্লিডিও জ্যামিতি অনুযায়ী, একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি বিন্দু দ্বারা একটি ও কেবল একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায়।

অন্যভাবে বললে, যে বহুভুজের কেবল তিনটি বাহু ও তিনটি শীর্ষবিন্দু থাকে তাকে ত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু বলতে বোঝায়, এর যেকোনো দুইটি বাহু পরস্পর যে বিন্দুতে মিলিত হয়। আবার বাহুর সংখ্যা বিবেচনায়, ত্রিভুজই সর্বনিম্ন বহুভুজ। অর্থাৎ এমন কোনো বহুভুজ নেই যার বাহুর সংখ্যা তিন এর কম। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০

ত্রিভুজের প্রকারভেদ

ত্রিভুজ কত প্রকার তা সুনির্দিষ্ট করা একটু কঠিন হলেও বাহু অনুসারে ত্রিভুজের প্রকারভেদ, কোণ অনুসারে ত্রিভুজের প্রকারভেদ এবং ত্রিভুজের অন্যান্য বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করে সাধারণত যে কয়টি ত্রিভুজ পাওয়া তার একটি তালিকা নিচে দেওয়া হলো।

বিষমবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে

ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর অসমান হলে তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে। এই ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান নয় বলে, এর কোণ তিনটিও পরস্পর অসমান।

চিত্রে, একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

বিষমবাহু ত্রিভুজ হলো সকল ত্রিভুজের সাধারণ রূপ। অর্থাৎ বিষমবাহু ত্রিভুজের কোনো কোনো বৈশিষ্ট্যের কারণে অন্যান্য ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়। যেমন বিষমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তখন সেটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হয়ে যায়। একইভাবে, বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে

ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। কোনো কোনো ক্ষেত্রে বলা হয়, যে ত্রিভুজের কেবল দুইটি বাহু সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। আবার, কোনো কোনো ক্ষেত্রে বলা হয়, যে ত্রিভুজের কমপক্ষে দুইটি বাহু পরস্পর সমান, তাই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এক্ষেত্রে, সকল সমবাহু ত্রিভুজকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলা যায়।

অন্যভাবে বলা যায়, যে ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণের মান জানা থাকলে অপর কোণ দুইটির পরিমাপ নির্ণয় করা যায়।

চিত্রে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

সমবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান হলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। এটি একটি সুষম ত্রিভুজ কারণ এর বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান। আবার, এর বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য সমান বলে কোণ তিনটিও পরস্পর সমান।

চিত্রে, একটি সমবাহু ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

অন্যভাবে বললে, যে ত্রিভুজের কোণ তিনটি পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি ১৮০। ফলে কোণগুলো পরস্পর সমান হলে, এর প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০ হয়। তাই সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০

অতএব বলা যায়, যে ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০ তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। তাছাড়া, সমবাহু ত্রিভুজ একটি সুষম বহুভুজ যার বাহুর সংখ্যা তিন। সুষম বহুভুজ হওয়ার কারণ হলো এই বহুভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান।

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

ত্রিভুজের তিনটি কোণের প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ হলে তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে। সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয় পরস্পর সমান হতে পারে; আবার বাহুত্রয় অসমানও হতে পারে। তবে, বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান হলে তখন এটি সমবাহু ত্রিভুজ হয়ে যায়।

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হলে তখন সেইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হয়ে যায়। একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র আঁকা যায় যেখানে প্রতিটি বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর অংশ হয় এবং বর্গক্ষেত্রের অপর দুইটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অবস্থিত।

চিত্রে, একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ হলে তাকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে। একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজের কেবল একটি স্থূলকোণ থাকতে পারে।

চিত্রে, একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

এই ত্রিভুজের স্থূলকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ। আবার এই ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুই বৃহত্তম বাহু। তাছাড়া, ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০ বলে একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণ ছাড়া অপর দুইটি সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি এক সমকোণ অপেক্ষা কম।

সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ হলে তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে। ১ সমকোণ = ৯০। সুতরাং, যে ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ ৯০ তাই সমকোণী ত্রিভুজ।

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে এবং অতিভুজই সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু। এই ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুইটি পরস্পর পূরক কোণ কারণ এই কোণ দুইটির সমষ্টি ৯০। সমকোণী ত্রিভুজের উপর ভিত্তি করে পিথাগোরাসের উপপাদ্য গড়ে উঠেছে। এই ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে। তাছাড়া, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটিকে লম্ব ও ভূমি বলে।

চিত্রে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

যে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান নয় তাকে বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে। আবার বলা যায়, যে বিষমবাহু ত্রিভুজের কোণ তিনটির প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ তাকে বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।

চিত্রে, একটি বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ একদিকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ এবং একইসাথে বিষমবাহু ত্রিভুজ। আবার, এই ত্রিভুজের বাহত্রয় পরস্পর সমান নয় বলে, কোণ তিনটিও পরস্পর অসমান।

বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

যে স্থূলকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান তাকে বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, যে বিষমবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ তাকে বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে।

বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ একইসাথে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ এবং বিষমবাহু ত্রিভুজ। আবার, এই ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান বলে, কোণ তিনটিও পরস্পর সমান নয়।

চিত্রে, একটি বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

যে সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান তাকে বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, যে বিষমবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ তাকে বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

চিত্রে, একটি বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ একইসাথে সমকোণী ত্রিভুজ এবং বিষমবাহু ত্রিভুজ। আবার, এই ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান হওয়ার কারণে এর কোণ তিনটিও পরস্পর সমান নয়। এই ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক কোণ।

সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

যে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান তাকে সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে। আবার বলা যায়, যে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ তাকে সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।

সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ একদিকে যেমন সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ; একই সাথে এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। আবার, এই ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান; ফলে এর সমান বাহু দুইটির বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান। এই ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ জানা থাকলে অন্য কোণ দুইটির পরিমাপ নির্ণয় করা যায়।

চিত্রে, একটি সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

স্থূলকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বলা যায়, যে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ তাকে সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে।

চিত্রে, একটি সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজটির নাম বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, এটি একদিকে যেমন একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ; একই সাথে এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজও বটে। আবার, এই ত্রিভুজের স্থূলকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান; ফলে এর সমান বাহু দুইটির বিপরীত সূক্ষ্মকোণ কোণ দুইটির পরিমাপও পরস্পর সমান। সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুই ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু।

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু দুইটির অন্তর্ভূক্ত কোণটি এক সমকোণ বা ৯০ হলে তাকে সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ একই সাথে দুইটি ত্রিভুজকে প্রতিনিধিত্ব করে। ত্রিভুজ দুইটির একটি হলো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং অন্যটি সমকোণী ত্রিভুজ। এই ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় পরস্পর সমান। সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে এবং এই অতিভুজই ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু। তাছাড়া, এই ত্রিভুজের অতিভুজের সংলগ্ন কোণ দুইটির পরিমাপ পরস্পর সমান।

চিত্রে, একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

তির্যক ত্রিভুজ কাকে বলে

ত্রিভুজের কোনো কোণের পরিমাপ এক সমকোণ বা ৯০ না থাকলে সেই ত্রিভুজকে তির্যক ত্রিভুজ বলে। তির্যক শব্দটির অর্থ হেলানো অর্থাৎ, খাড়া নয় এমন। সমকোণের বাহুদ্বয় একটির উপর আরেকটি ঠিক খাড়াভাবে অবস্থান করে। তাই সমকোণী ত্রিভুজের বাহুদ্বয় একটি আরেকটি বাহুর উপর খাড়াভাবে অবস্থান করে। এজন্য কোনো সমকোণী ত্রিভুজ কখনও তির্যক ত্রিভুজ নয়।

চিত্রে, দুইটি তির্যক ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

সকল সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ ও স্থূলকোণী ত্রিভুজ - এরা এক-একটি তির্যক ত্রিভুজ। আর সমকোণী ত্রিভুজ, বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ ও সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ - এদের কোনোটিই তির্যক ত্রিভুজ নয়; কারণ এই ত্রিভুজগুলোর প্রত্যেকটির একটি কোণ সমকোণ, ফলে ত্রিভুজগুলোর একটি বাহু আরেকটির উপর খাড়াভাবে অবস্থান করে। অতএব, সমকোণী ত্রিভুজ নয়, এমন সকল ত্রিভুজই তির্যক ত্রিভুজ।

সদৃশকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ অপর একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটিকে পরস্পর সদৃশকোণী ত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০। ফলে, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ অপর একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটির তৃতীয় কোণের পরিমাপও পরস্পর সমান হয়।

চিত্রে, তিনটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

অতএব, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাপ যদি অপর একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাপের সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুইটিকে পরস্পর সদৃশকোণী ত্রিভুজ বলে। দুইটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ সর্বসম হতেও পারে; আবার সর্বসম নাও হতে পারে।

সর্বসম ত্রিভুজ কাকে বলে

দুইটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটিকে পরস্পর সর্বসম ত্রিভুজ বলে। সর্বসম শব্দটির অর্থ হলো সবকিছু সমান।

চিত্রে, দুইটি সর্বসম ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

অতএব, দুইটি সর্বসম ত্রিভুজের একটির সবকিছু অপরটির অনুরপ সবকিছুর সমান। এরূপ একটি ত্রিভুজকে অপরটির উপর স্থাপন করলে করলে সমাপতিত হয়; অর্থাৎ একটি ত্রিভুজকে আরেকটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে, ত্রিভুজ দুইটিকে একটি ত্রিভুজ বলে মনে হবে। দুইটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হলে তারা অবশ্যই সদৃশকোণী ত্রিভুজ। কিন্তু দুইটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ সর্বক্ষেত্রে সর্বসম নাও হতে পারে।

বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ কাকে বলে

একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে ত্রিভুজটিকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত যেকোনো তিনটি বিন্দু পরস্পর যোগ করলে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তাকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ বলে।

চিত্রে, একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।


সর্বশেষ সম্পাদিত ও পরিমার্জিতঃ 06/04/2020