সহজ করে কিছু শেখা

বক্ররেখা কাকে বলে

এই টিউটোরিয়ালটির শেষে-

বক্ররেখা কাকে বলে তা বর্ণনা করতে পারা যাবে।

বক্ররেখা কি তা চিত্রসহ ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

বিভিন্ন ধরণের বক্ররেখা ও বক্ররেখার চিত্র অঙ্কন করতে পারা যাবে।

সরলরেখা ও বক্ররেখার মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করতে পারা যাবে।

বীজগাণিতিক বক্ররেখা, দ্বিঘাত বক্ররেখা এবং আরও কিছু সাধারণ বক্র রেখা চিত্রসহ বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।



বক্ররেখা

আধুনিক গণিত শাস্ত্রে, বক্ররেখা হলো সাবলীলভাবে চলমান (smoothly-flowing) একটি রেখা যা সোজা বা বাঁকা হতে পারে।

মনে প্রশ্ন আসতে পারে, বক্ররেখা আবার সোজা হয় কিভাবে? এ প্রশ্নের উত্তরে বলা যায়, যে বক্ররেখার বক্রতা (curvature) শুণ্য তাকে রেখা বা সরলরেখা বলে। তাহলে বলা যায়, সরলরেখা অবশ্যই একটি বক্র রেখা যার বক্রতা শুণ্য (০)। অতএব বক্ররেখা হলো সরলরেখা বা রেখার সাধারণীকরণ (generalization)। বিপরীতক্রমে, সরলরেখা হলো বক্ররেখার একটি বিশেষ রূপ (particular case)।

একটি বক্ররেখার চিত্র, তার চলার পথ দেখাচ্ছে।

বক্ররেখা ও রেখা অনুশীলনে আরেকটি বিষয় পরিষ্কার হওয়া জরুরী। তা হলো, আধুনিক গণিত শাস্ত্রে, রেখা বলতে কেবল সরলরেখাকেই বুঝায়। কিন্তু পূর্বে রেখা বলতে সরলরেখা বা বক্ররেখা উভয়কেই বুঝানো হতো।

সাধারণভাবে বলা যায়, বক্ররেখা হলো এমন একটি রেখা যার চলার পথ সবসময়ই বাঁকা। সুতরাং, যে রেখা চলার পথে সার্বক্ষণিক মোড় নেয়, তাই বক্ররেখা। অতএব, বক্র রেখা চলার পথে সার্বক্ষণিক দিক পরিবর্তন করে। আবার বিভিন্ন ধরণের বক্ররেখার দিক পরিবর্তনের ধরণও বিভিন্ন রকম।

কিন্তু গণিতে, রেখা বা সরলরেখা হলো একদম সোজা।

যেহেতু বলা হয়েছে, গণিতে বক্ররেখা হলো চলমান এমন একটি পথ যা বাঁকা হতেই হবে এমন কোন শর্ত নেই; তার অর্থ এই যে, বক্ররেখার চলার পথ সোজাসুজিও হতে পারে। মোট কথা বক্র রেখা বাঁকাও হতে পারে, আবার সোজাও হতে পারে। তাই একটি রেখা বা সরলরেখা সবসময়ই একটি বক্ররেখা। সুতরাং, বক্ররেখা হলো সরলরেখার সাধারণীকরণ (generalization)। আর সরলরেখা হলো বক্ররেখার একটি বিশেষ রূপ (special form)।

তাই বলা যায়, সব রেখা বা সরলরেখাই বক্ররেখা। কিন্তু সব বক্ররেখা সরলরেখা নয়; যে বক্ররেখার বক্রতা শুণ্য কেবল সেই বক্ররেখাই সরলরেখা।

অর্থাৎ যখন একটি বক্ররেখার বক্রতা বা কার্ভেচার (curvature) শুণ্য হয়, তখন এটি সরলরেখা হয়।

বক্ররেখা উদাহরণ

একটি অধিবৃত্তাকার বক্ররেখা

বক্ররেখার ধরণ (Types of Curves)

বিভিন্ন ধরণের বক্ররেখার একটি তালিকা নিচে দেওয়া হলোঃ

  • খোলা বক্ররেখা (open curve)
  • বদ্ধ বক্ররেখা(closed curve)
  • সাধারণ(general curve)
  • অনুভূমিক বক্ররেখা(horizontal curve)
  • সরল বক্ররেখা(simple curve)
  • যৌগিক বক্ররেখা(compound curve)
  • উল্টো বক্ররেখা(reverse curve)
  • প্যাঁচানো বক্ররেখা(spiral curve)
  • বীজগাণিতিক বক্ররেখা(algebraic curve)
  • দ্বিঘাত বক্ররেখা(quadratic curve)
  • ঘন বক্ররেখা(cubic curve)
  • তুরীয় বক্ররেখা(transcendental curve)
  • অধিবৃত্তাকার বক্ররেখা(parabolic curve)
  • বহুপদী বক্ররেখা(polynomial curve)
  • পরাবৃত্তাকার বক্ররেখা(hyperbolic curve)
  • বর্গমূল বক্ররেখা(square root curve)
  • লগারিদমিক বক্ররেখা(log curve)

খোলা বক্ররেখা(Open Curve)

একটি বক্ররেখার প্রান্ত বিন্দুদ্বয় মিলিত না হলে তাকে খোলা বক্ররেখা বলে।

অধিবৃত্ত হলো একটি খোলা বক্ররেখার উত্তম উদাহরণ।

এই বক্ররেখার প্রান্ত বিন্দুদ্বয় কখনও মিলিত হয় না।

বদ্ধ বক্ররেখা(Closed Curve)

একটি বক্ররেখার শুরুর বিন্দু (starting point) ও শেষ বিন্দু (ending point) একই হলে তাকে বদ্ধ বক্ররেখা।

উপবৃত্ত এবং বৃত্ত হলো বদ্ধ বক্ররেখার চমৎকার উদাহরণ।

সাধারণ বক্ররেখা(General Curve)

একটি সাধারণ বক্ররেখা বলতে সেই বক্ররেখাকে বুঝায়, যে রেখা অনুরপ সকল রেখাগুলোকে প্রতিনিধিত্ব করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ হলো y = ax2 যেখানে a ≠ 0.

এই অধিবৃত্তটি গ্রাফ পেপারে আঁকলে কোনোটি খুব সরু (narrow), আবার কোনোটি খুব প্রশস্থ (wide) হবে। এসব নির্ভর করে a বিভিন্ন মানের উপর। তাহলে, এখন চিত্রসহ এগুলো বর্ণনা করা যাক।

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ বক্ররেখাঃ ঘটনা ১(case 1)

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ সমীকরণ, y = axn যেখানে a>0 এবং n জোড় সংখ্যা।

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ সমীকরণ, বিবেচনা করি। এই সমীকরণটি

y = axn যেখানে a > 0 এবং n জোড় সংখ্যা। এটি অধিবৃত্তের অনুরূপ সকল বক্ররেখাকে প্রতিনিধিত্ব করে যা নির্ভর করে a > 0 এবং n এর বিভিন্ন মানের উপর।

আরও সুস্পষ্ট করে বলা যায়। যদি a = 1 এবং n = 2 হয়, তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়;
y = x2

অনুরূপভাবে,
যদি a = 2,3,4,5,... এবং n = 4,6,8,10,..., হয়, তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায় যথাক্রমে
y = 2x4
y = 3x6
y = 4x8
y = 5x10

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ বক্ররেখাঃ ঘটনা ২(case 2)

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ সমীকরণ, y = axn যেখানে a < 0 এবং n জোড় সংখ্যা।

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ বক্ররেখাঃ ঘটনা ৩(case 3)

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ সমীকরণ, x = ayn যেখানে a > 0 এবং n জোড় সংখ্যা।

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ বক্ররেখাঃ ঘটনা ৪(case 4)

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ সমীকরণ, x = ayn যেখানে a < 0 এবং n জোড় সংখ্যা।

একটি সাধারণ বক্ররেখাঃ ঘটনা ৫(case 5)

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ সমীকরণ, y = axn যেখানে a>0 এবং n বিজোড় সংখ্যা।

একটি সাধারণ বক্ররেখাঃ ঘটনা ৬(case 6)

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ সমীকরণ, y = axn যেখানে a < 0 এবং n বিজোড় সংখ্যা।

একটি সাধারণ বক্ররেখাঃ ঘটনা ৭(case 7)

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ সমীকরণ, x = ayn যেখানে a > 0 এবং n বিজোড় সংখ্যা।

একটি সাধারণ বক্ররেখাঃ ঘটনা ৮(case 8)

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

অধিবৃত্তের একটি সাধারণ সমীকরণ, x = ayn যেখানে a < 0 এবং n বিজোড় সংখ্যা।

বীজগাণিতিক বক্ররেখা(Algebraic Curve)

একটি সমতলীয় বীজগাণিতিক বক্ররেখা এমন একটি বক্ররেখা যা গঠিত হয় একসেট বিন্দু দিয়ে যার স্থানাঙ্ক একটি দ্বিচলকবিশিষ্ট বহুপদীর মূল।

অন্যভাবে বলা যায়...

একটি সমতলীয় বীজগাণিতিক বক্ররেখা এমন একটি পথ বিশেষ যা একসেট বিন্দুর সমন্বয়ে গঠিত এবং যার x এবং y স্থানাঙ্ক P(x,y)=0 কে সমর্থন বা তুষ্ট(satisfy) করে যেখানে P একটি দ্বিচলকবিশিষ্ট বহুপদী।

উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 4; অর্থাৎ x2 + y2 = 16, একটি সুসম্পূর্ণ বীজগাণিতিক বক্ররেখা কারন এটি x2 + y2 - 16 বহুপদীর মূলের সেটকে ধারণ করে।

এখানে (-4,0) এবং (4,0) বিন্দু দুইটি P(x,y) = x2 + y2 - 16 বহুপদীকে আলাদাভাবে সমর্থন বা তুষ্ট(satisfy) করে।

অর্থাৎ P(-4,0) = 0 এবং P(4,0) = 0.

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

একটি বৃত্ত, x2 + y2 = 16 যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 4 একক।

দ্বিঘাত বক্ররেখা(Quadratic Curve)

x চলকের এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত ফাংশনের আকার হলোঃ
f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0.

এটি হলো একচলকবিশিষ্ট আদর্শ দ্বিঘাত ফাংশন (standard quadratic function)।

যদি f(x) এর মান 0 বসানো হয়, তাহলে এটি দাঁড়ায়;
f(x) = 0. অর্থাৎ,
ax2+bx+c = 0

এই সমীকরণকে বলা হয় দ্বিঘাত সমীকরণ এবং এটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ(standard quadratic equation) বলে সুপরিচিত। এই দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানকে বলা হয়, দ্বিঘাত ফাংশনের মূল (root)। দ্বিঘাত বক্ররেখা দ্বিঘাত সমীকরণের মূল দুইটি দেখায়। একচলকবিশিষ্ট ফাংশন (single variable function)কে অনেক সময় ইউনিভেরিয়েট ফাংশন (univariate function) বলে অভিহিত করা হয়। তেমনিভাবে, একচলকবিশিষ্ট সমীকরণ (single variable equation)টি ইউনিভেরিয়েট সমীকরণ (univariate equation) বলে সুপরিচিত।

−4−3−2 −101 234 4321−1 −2−3−4 YX

f(x) = ax2 + bx + c; a≠0 একটি অধিবৃত্তাকার দ্বিঘাত বক্ররেখার ফাংশন।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণকে যদি এক টুকরো গ্রাফ পেপারে আঁকা হয়, তাহলে এটি তখন অধিবৃত্তাকার বক্ররেখার (parabolic curve)আকার ধারণ করে।

এই অধিবৃত্তাকার বক্ররেখাটিকে দুইটি সমান ও সদৃশকারী অক্ষরেখা (axis of symmetry) সবসময়ই y- অক্ষর সমান্তরাল।

x ও y দুইচলকবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত ফাংশন হলোঃ
f(x,y) = ax2 + by2+ hxy + gx + fy + c
যেখানে a,b,h এর মধ্যে কমপক্ষে যে কোন একটি শুণ্য (0) নয়।

যদি f(x,y) এর শুণ্য অর্থাৎ 0 বসানো হয়, তাহলে এটি দাঁড়ায়;
f(x,y) = 0. অর্থাৎ
ax2 + by2+ hxy + gx + fy + c = 0

এই সমীকরণটি কনিক সেকশন (conic section) কে প্রতিনিধিত্ব করে যা বৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং পরাবৃত্ত নিয়ে গঠিত।


সর্বশেষ সম্পাদিত ও পরিমার্জিতঃ 28/06/2020