LEARN THINGS THE EASY WAY
English

বৃত্ত কাকে বলে

বৃত্ত হলো দ্বিমাত্রিক জ্যামিতির সুষম আবদ্ধ বক্রাকার চিত্র।

এই টিউটোরিয়ালটি শেষে ...

বৃত্ত কাকে বলে চিত্র সহ তা ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

বৃত্তের পরিধি ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বৃত্ত কলার ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র উদ্ভাবন করতে পারা যাবে।

বৃত্তের বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।

বৃত্তের বিভিন্ন অংশ পরিচিতি ও তাদের মধ্যে পারস্পারিক সম্পর্ক ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

বৃত্ত

একই সমতলে অবস্থিত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদুরবর্তী সকল বিন্দু দ্বারা গঠিত সুষম আবদ্ধ বক্রাকার চিত্রকে বৃত্ত বলে।

সমদুরবর্তী বলতে বুঝায় যে সকল বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে সমান দুরত্বে বা নির্দিষ্ট দুরত্বে অবস্থিত অর্থাৎ দুরত্ব একটি ধ্রূবক। নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে বলা হয় বৃত্তের কেন্দ্র। আর নির্দিষ্ট দুরত্বকে বলা হয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ। অর্থাৎ নির্দিষ্ট বিন্দু বা কেন্দ্র হতে বৃত্তের পরিধির উপর যে কোন একটি বিন্দুর দরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। বৃত্তের ব্যাসার্ধর দ্বিগুণকে বৃত্তের ব্যাস বলে।

বৃত্তের কেন্দ্র কাকে বলে

যে নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তের পরিধির উপর সকল বিন্দুর দুরত্ব সমান, ঐ নির্দিষ্ট বিন্দুকে বৃত্তের কেন্দ্র বলে।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ কাকে বলে

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধির উপর যে কোন বিন্দুর দুরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। অন্যভাবে বললে, বৃত্তের কেন্দ্র ও পরিধির উপর যে কোন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্যকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।

ব্যাস কাকে বলে

বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত হলে, ঐ রেখাংশকে বৃত্তের ব্যাস বলে। বৃত্তের ব্যাস বৃত্তের ব্যাসার্ধর দ্বিগুণ। বৃত্তের কেন্দ্র বৃত্তের ব্যাসের মধ্যবিন্দু। আবার বৃত্তের ব্যাস বৃত্তের একটি জ্যা বটে। তবে এটি একটি বিশেষ জ্যা। বৃত্তের ব্যাস বা এই বিশেষ জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল

বৃত্তের ব্যাসার্ধের বর্গকে $\pi$ দ্বারা গুণ করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়। এখন প্রশ্ন হলো $\pi$ কি? বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসার্ধের অনুপাত হলো $\pi$. একটি বৃত্তের ব্যাস ৭ হলে তার পরিধি হয় ২২। অতএব বৃত্তের পরিধি $\colon$ বৃত্তের ব্যাস $=$ ২২$\colon$৭ অর্থাৎ $\pi=\dfrac{22}{7}$. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ একক হলে এর ক্ষেত্রফল $\pi r^2$ বর্গ একক।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

বৃত্তের ব্যাসার্ধ:

বৃত্তের ক্ষেত্রফল:

বৃত্তের জ্যা

বৃত্তের পরিধির উপর যে কোন দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তের জ্যা বলে। এরূপ দুইটি বিন্দু যোগ করে অসংখ্য রেখাংশ অঙ্কণ করা যায়। তাই একটি বৃত্তের অসংখ্য জ্যা থাকতে পারে।

বৃত্তের স্পর্শক

বৃত্তের একটি অনন্য বিন্দুতে স্পর্শকারী, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখাকে বৃত্তের স্পর্শক বলে। অতএব, বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের একটি একক বিন্দুতে স্পর্শ করে। স্পর্শক সবসময়ই বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধর উপর লম্ব এবং বৃত্তের পরিধির উপর একটি মাত্র বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

বৃত্তের পরিধি কাকে বলে

বৃত্তের সীমান্ত বরাবর দৈর্ঘ্যকে বৃত্তের পরিধি বলে। অতএব বৃত্তের পরিধি হলো বৃত্তের পরিসীমা। বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধ জানা থাকলে পরিধি নির্ণয় করা যায়।

বৃত্তচাপ কাকে বলে

বৃত্তের পরিধির যে কোন অংশকে বৃত্ত চাপ বলে। বৃত্ত চাপের প্রান্তবিন্দুদ্বয় যদি কোন রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় হয়, তাহলে ঐ রেখাংশকে বৃত্তের জ্যা বলে।

অর্ধ বৃত্তচাপ

যে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য পরিধির অর্ধেক তাকে অর্ধ বৃত্তচাপ বলে।

ছেদক রেখা

যে সরলরেখা বুত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বৃত্তের ছেদক রেখা বলে। অতএব, একটি জ্যা কে উভয়দিকে সীমাহীনভাবে বর্ধিত করলে ছেদক রেখা উৎপন্ন হয় যা বৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।

বৃত্তাংশ

বৃত্তের একটি জ্যা ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত অঞ্চলকে বৃত্তাংশ বলে।

বৃত্তকলা বা বৃত্তীয় ক্ষেত্র

বৃত্তের দুইটি ব্যাসার্ধ ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত অঞ্চলকে বৃত্তকলা বা বৃত্তীয় ক্ষেত্র বলে।

একটি বৃত্ত চিত্র বৃত্তের বিভিন্ন অংশ ও অঞ্চল দেখাচ্ছে।

বৃত্তের বৈশিষ্ট্য

বৃত্তের কেন্দ্র, ব্যাসার্ধ, ব্যাস, পরিধি, ক্ষেত্রফল, স্পর্শক, প্রতিসমতা ইত্যাদির উপর ভিত্তি করে যেসব বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়, তার কতকগুলো বৈশিষ্ট্য নিচে উল্লেখ করা হলোঃ

  • একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যকে পরিসীমা বিবেচনা করে যেসব দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্র যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বহুভুজ, বৃত্ত ইত্যাদি অঙ্কন করা যায় তাদের মধ্যে বৃত্ত ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হবে সবচেয়ে বেশি।
  • বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক।
  • বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
  • বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত সবসময়ই ২২$\colon$৭, যা $\pi$ বলে পরিচিত অর্থাৎ $\pi=\dfrac{22}{7}$.
  • বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাসভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
  • বৃত্তের দুইটি সমান সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।
  • একটি বৃত্তের অসংখ্য ব্যাসার্ধ আঁকা যায়।
  • একই সমতলে অবস্থিত এবং সমরেখ নয় এমন তিনটি বিন্দু দিয়ে একটি ও কেবল একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
  • বৃত্তের সমান সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।
  • বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
  • দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যা দুইটির উপর লম্ব।
  • বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
  • বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।
  • বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো কোণের সমদ্বিখণ্ডক ও তার বিপরীত কোণের বহির্দ্বিখণ্ডক বৃত্তের উপর ছেদ করে।
  • বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
  • সব বৃত্তই পরস্পর সদৃশ।
  • যেসব বৃত্তের ব্যাসার্ধ পরস্পর সমান, সেসব বৃত্ত পরস্পর সর্বসম।
  • বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও তার ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমানুপাতিক।
  • বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ একটি সূক্ষ্মকোণ।
  • যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ ১ একক, তার নাম একক বৃত্ত (unit circle)।
  • বৃত্তের ব্যাস বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
  • বৃত্তের প্রত্যেক ছেদকের ছেদবিন্দুদ্বয়ের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দু বৃত্তের অভ্যন্তরে থাকে।
  • যেকোনো বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।
  • বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, তাদের ছেদ বিন্দু হতে কোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
  • বৃত্তের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা অসীম।
  • ত্রিভুজের লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুই নববিন্দুবৃত্তের কেন্দ্র।
  • বৃত্তের কোনো বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ এবং ঐ বিন্দুতে ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
  • বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখা ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
  • কোন বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ একটি স্থুলকোণ।
  • দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শ বিন্দু সমরেখ।
  • বৃত্তের প্রমিত সমীকরণ হলো $(x-a)^2+(y-b)^2=c^2$ যেখানে বৃত্তের কেন্দ্র $(a,b)$ এবং ব্যাসার্ধ $c$ একক।
  • দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শ বিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সব বিন্দু অপর বৃত্তের বাইরে থাকে।
  • অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সবসময়ই $90^0.$
  • বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $\pi \colon 2.$
  • বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী।
  • বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ একক হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^2$ বর্গ একক।
  • বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক।
  • একটি বৃত্তের ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান জ্যা অঙ্কন করলে অঙ্কিত জ্যাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হয়।
  • বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
  • বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকলে ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দুরত্ব সমান হয়।
  • দুইটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করলে, স্পর্শ বিন্দু ছাড়া ছোট বৃত্তের অন্য সব বিন্দু বড় বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকে।
  • কোনো চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি $180^0$ হলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্ত বা একই বৃত্তের উপর অবস্থিত হয়।
  • যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে সর্বোচ্চ দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
  • একটি বৃত্ত যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তাহলে বৃত্তটির কেন্দ্র হবে অতিভুজের মধ্যবিন্দু।
  • বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ একক হলে বৃত্তের পরিধি $=2\pi r$ একক।
  • দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শ বিন্দু সমরেখ অর্থাৎ একই রেখায় অবস্থিত।
  • একটি বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র হয়।
  • বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো রেখাই এর প্রতিসাম্য রেখা।
  • বৃত্তের কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে ঐ বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখা স্পর্শ-জ্যা এর উপর লম্ব।
  • বৃত্তের যেসব জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী সেইসব জ্যা পরস্পর সমান।
  • একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্রবিশিষ্ট অংসখ্য বৃত্ত আঁকা যায়।
  • বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $a$ একক, তার সমীকরণটি হবে $x^2+y^2=a^2.$
  • দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
  • সব সর্বসম বৃত্ত সদৃশ কিন্তু সব সদৃশ বৃত্ত সর্বসম নয়।
  • বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর।
  • দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তার একই পাশে অবস্থিত অপর দুইটি বিন্দুতে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্ত হয়।
  • সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস বিবেচনা করে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
  • বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।
  • সমান সমান ভূমির উপর অবস্থিত যেকোনো দুইটি ত্রিভুজের শিরঃকোণদ্বয় সম্পূরক হলে, তাদের পরিবৃত্তদ্বয় সমান হয়।
  • বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পশবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
  • সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট যেসব বহুভুজ যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, পঞ্চভুজ বা বৃত্ত আঁকা যায়, সেইসব বহুভুজের পরিসীমাগুলোর মধ্যে বৃত্তের পরিধি সবচেয়ে কম।
  • বৃত্তের প্রতিসাম্য রেখা অসীম।
  • বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি ও কেবল একটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
  • দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।
  • নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের অর্ধেকের সমান।
  • বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

সর্বশেষ সম্পাদিত ও পরিমার্জিতঃ 31/08/2018