সহজ করে কিছু শেখা

সমকোণী ত্রিভুজ ও সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

এই টিউটোরিয়ালটি শেষে ...

সমকোণ কাকে বলে তা ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে তা বর্ণনা করতে পারা যাবে।

সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারা যাবে।

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কত তা বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।



সমকোণ কাকে বলে

যে কোণের পরিমাপ ৯০° তাকে সমকোণ বলে। সুতরাং ১ সমকোণ = ৯০°। তাহলে সমকোণ শেখা হলো ডিগ্রির মাধ্যমে। এখন ডিগ্রি কি তা জানা দরকার।

O X Y 90°

একটি সমকোণ দেখা যাচ্ছে।

একটি সরলরেখার কোন বিন্দুতে আর একটি রেখা পরস্পর লম্বভাবে মিলিত হলে ছেদ বিন্দুতে রেখা দুইটির অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ হয় ৯০°। এই কোণকে সমান ৯০ ভাগে বিভক্ত করলে প্রতি অংশের পরিমাপ হয় এক ডিগি বা ১°।

কোণ পরিমাপ নির্ণয়ে দুই প্রকার পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

  • ষাটমূলক পদ্ধতি
  • বৃত্তীয় পদ্ধতি

ষাটমূলক পদ্ধতিতে সমকোণকে কোণ পরিমাপের একক বিবেচনা করা হয়। এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে সমান ৯০ ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক ডিগি বা ১° ধরা হয়।

১° কে সমান ৬০ ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক মিনিট বা ১' মনে করা হয়।

' কে সমান ৬০ ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক সেকেন্ড বা ১'' ধরা হয়।

চিত্রে QR রেখার Q বিন্দুতে PQ রেখাটি মিলিত হয়েছে। ফলে ∠PQR=৯০° হয়েছে। এখানে ∠PQR= ১ সমকোণ।


সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে

যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ বা ৯০° তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অবশিষ্ট দুইটি কোণের প্রত্যেকটি কোণই এক একটি সূক্ষ্মকোণ।

এই ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া সূক্ষ্মকোণ দুইটির সমষ্টি অবশ্যই ৯০°।

সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের পা (legs) বলে পরিচিত। এই পা দুইটিকেই সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি বলে। পা দুইটির একটি ভূমি হলে অপরটি লম্ব হয়।

অন্যদিকে সমকোণের বিপরীত বাহুকে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ (hypotenuse) বলে। অতিভুজই সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু।

কোণ বিবেচনায় যে কয় ধরণের ত্রিভূজ আছে, সমকোণী ত্রিভুজ তাদের মধ্যে অন্যতম।

একটি সমকোণী ত্রিভুজ।


সমকোণী ত্রিভুজ উদাহরণ

একটি সমকোণী ত্রিভুজ

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে

সাধারণভাবে বলা যায়, যে ত্রিভুজ একইসাথে সমদ্বিবাহু ও সমকোণী, তাই সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

অন্যভাবে বলা যায়, যে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° বা সমকোণ তাকে সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। আর, কোন সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান হলে তাকে সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।

সুতরাং, যে ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এর সমকোণ ব্যতীত অন্য সূক্ষ্মকোণ দুইটি পরস্পর সমান। এই সূক্ষ্মকোণ দুইটির প্রত্যেকটির মান ৪৫°।

অন্যদিকে সমকোণের বিপরীত বাহুকে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ (hypotenuse) বলে। অতিভুজই সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু।

45° 90° 45°

একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।


সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

যে কোন ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতার গুণফলের অর্ধেকই হলো ঐ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

অর্থাৎ, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ( × ভূমি × উচ্চতা ) বর্গ একক।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও একই নিয়ম প্রযোজ্য। সমকোণী ত্রিভুজের পা (legs) দুইটি, সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি।

∴ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ( × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল ) বর্গ একক।

মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি a ও b.

সেক্ষেত্রে, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ab বর্গ একক।


সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য

  • সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুই হলো অতিভুজ। অতিভুজই সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু।
  • সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পূণসংখ্যা হলে তাকে ‘পিথাগোরিয়ান ত্রিপল’(Pythagorean Triple) বলে।
  • এই ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অন্য দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০°।
  • সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক শীর্ষবিন্দু এবং অতিভুজের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ দ্বারা ত্রিভুজটি যে দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয়, তারা উভয়ই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
  • যে কোন দুইটি বাহু জানা থাকলে সমকোণী ত্রিভুজের অন্য বাহুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়।
  • সমকোণী ত্রিভুজই হলো পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ভিত্তি।
  • সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রান্ত বৃত্ত অঙ্কণ করলে ঐ বৃত্তের ব্যাস অতিভুজের সমান।
  • এই ত্রিভুজের একটি কোণ ও কোণ সংলগ্ন একটি বাহু জানা থাকলে অন্য সবগুলো বাহু ও কোণগুলো নির্ণয় করা যায়।
  • সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এর সমকোণ সংলগ্ন যেকোন বাহু ও অতিভুজের অনুপাত সবসময়ই ১:√২।
  • সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এর পা(legs) অর্থাৎ সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি পরস্পর সমান এবং অতিভুজ যেকোন একটি পা এর √২ গুণ।
  • সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক শীর্ষবিন্দু এবং অতিভুজের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য অতিভুজের অর্ধেক।
  • সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অপর কোণদ্বয়ের একটি আরেকটির দ্বিগুণ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের বিপরীত বাহুর দ্বিগুণ অতিভুজের সমান।
  • সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক শীর্ষ থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কণ করলে অতিভুজ যে দুইটি অংশে বিভক্ত হয় সেই অংশ দুইটি এবং সংশ্লিষ্ট অংশ সংবলিত ত্রিভুজ দুইটির ক্ষেত্রফলদ্বয় সমানুপাতিক।

সর্বশেষ সম্পাদিত ও পরিমার্জিতঃ 14/06/2020