সহজ করে কিছু শেখা

বহুভুজ কাকে বলে এবং সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল

এই টিউটোরিয়ালটি শেষে ...

বহুভুজ কাকে বলে তা বর্ণনা করতে পারা যাবে।

বহুভুজের প্রকারভেদ বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।

বহুভুজের কোণ নির্ণয় করতে পারা যাবে।

বহুভুজের কর্ণ ও বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারা যাবে।



বহুভুজ

একই সমতলে অবস্থিত কতকগুলো রেখাংশ তাদের প্রান্তবিন্দুতে পরস্পর যুক্ত হয়ে যে বদ্ধ সমতলীয় আকৃতি তৈরি করে তাকে বহুভুজ বলে। দ্বিমাত্রিক জগতে বহুভুজ হলো একটি বদ্ধ সমতলীয় জ্যামিতিক আকৃতি।

যে রেখাংশগুলো তাদের প্রান্তবিন্দুতে পরস্পর যুক্ত হয়, তাদেরকে বহুভুজের বাহু বা ধার বলে। আর যে বিন্দুতে প্রতি জোড়া সন্নিহিত বাহু পরস্পর মিলিত হয় তাকে বহুভুজের শীর্ষবিন্দু বা কৌণিক বিন্দু বলে। একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা $n$ হলে তা $n-$ভুজ ব’লে সুপরিচিত। একটি ত্রিভুজ হলো সবচেয়ে কম সংখ্যক বাহু নিয়ে গঠিত বহুভুজ। তাই ত্রিভুজকে বলা হয় ৩-ভুজ। তেমনিভাবে ৪-ভুজ বলতে বুঝায় চতুর্ভুজ এবং ৫-ভুজ বলতে বুঝায় পঞ্চভুজ।


বহুভুজ উদাহরণ

একটি বহুভুজ

বহুভুজের প্রকারভেদ

ছেদ বা ছেদকের ভিত্তিতে বহুভুজকে মোটামুটিভাবে দুইভাগে ভাগ করা যায়ঃ

  • সরল বহুভুজ (none self-intersecting)
  • জটিল বহুভুজ (self-intersecting)

সরল বহুভুজ (Simple Polygon)

যে বহুভুজের কোন একটি বাহু অন্য কোন বাহুর ছেদক হয় না বা অন্য বাহুকে শীর্ষ ব্যতীত অন্য কোন বিন্দুতে ছেদ করে না তাকে সরল বহুভুজ বলে।

সরল চতুর্ভুজকে আবার দুইভাগে ভাগ করা যায়ঃ

  • উত্তল বহুভুজ (Convex polygons)
  • অবতল বহুভুজ (Concave polygons)

উত্তল বহুভুজ

যে বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৮০ অপেক্ষা ছোট তাকে উত্তল বহুভুজ বলে।

উত্তল বহুভুজের সব কর্ণই বহুভুজের অভ্যন্তরে বিদ্যমান। সবগুলো শীর্ষ বহুভুজের অভ্যন্তরস্থ বিন্দু থেকে বহির্মূখী। এই বহুভুজের মধ্যে দিয়ে গমনকারী যে কোন সরলরেখা বহুভুজের ঠিক দুইটি বাহুকে ছেদ করে। আবার উত্তল বহুভুজের যে কোন দুইটি শীর্ষবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বহুভুজের অভ্যন্তরে অবস্থান করে।

এই বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ ১৮০ অপেক্ষা ছোট।


অবতল বহুভুজ (Concave Polygon)

এই বহুভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ ১৮০ অপেক্ষা বড়।

যে বহুভুজের কমপক্ষে একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ ১৮০ হতে বড় তাকে অবতল বহুভুজ বলে। এই বহুভুজের কমপক্ষে একটি কর্ণ বহুভুজের বাইরে বিদ্যমান। আবার অবতল বহুভুজের কমপক্ষে একটি শীর্ষ অন্যান্য শীর্ষ থেকে বহুভুজের অভ্যন্তরস্থ বিন্দুর দিকে অন্তর্মূখী। এই বহুভুজের অভ্যন্তরস্থ বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোন সরলরেখা বহুভুজের দুইয়ের অধিক বাহুকে ছেদ করতে পারে। তাছাড়া এই বহুভুজের কোনো কোনো কর্ণ বহুভুজের বাইরে অবস্থান করতে পারে।

জটিল বহুভুজ (Complex Polygons)

যে বহুভুজের একটি বাহু অন্য বাহুর ছেদক হয় অথবা একটি বাহু অন্য বাহুকে শীর্ষ ব্যতীত ভিন্ন কোন বিন্দুতে ছেদ করে তাকে জটিল বহুভুজ বলে।


তারা বহুভুজ (Star Polygon)

যে বহুভুজের বাহুগুলো ও অন্তঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান এবং একটি বাহু অন্য বাহুর ছেদক হয় অথবা একটি বাহু অন্য বাহুকে শীর্ষ ব্যতীত ভিন্ন কোন বিন্দুতে ছেদ করে তাকে তারা বহুভুজ বলে।


সুষম বহুভুজ বা নিয়মিত বহুভুজ (Regular Polygon)

যে বহুভুজের বাহুগুলো এবং অন্তঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান তাকে সুষম বহুভুজ বা নিয়মিত বহুভুজ বলে।

যেহেতু সুষম বহুভুজের বাহুগুলো পরস্পর সমান, ফলে এর অন্তঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।

একইভাবে বলা যায়, যেহেতু সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান, তাই এর বাহুগুলো পরস্পর সমান হয়।

একটি সুষম বহুভুজ চিত্র এর সমান সমান বাহুগুলো ও সমান সমান অন্তঃস্থ কোণগুলো দেখাচ্ছে।


বিষম বহুভুজ বা অনিয়মিত বহুভুজ (Irregular Polygon)

70° 60° 50°

একটি বিষম বা অনিয়মিত বহুভুজ চিত্র এর অসমান বাহুগুলো ও অসমান অন্তঃস্থ কোণগুলো দেখাচ্ছে।

যে বহুভুজের বাহুগুলো এবং অন্তঃস্থ কোণগুলো পরস্পর অসমান তাকে বিসুষম বহুভুজ বা অনিয়মিত বহুভুজ বলে।

যেহেতু বিষম বহুভুজের বা অনিয়মিত বহুভুজের বাহুগুলো পরস্পর অসমান, ফলে এর অন্তঃস্থ কোণগুলো পরস্পর অসমান হয়।

একইভাবে বলা যায়, যেহেতু বিষম বহুভুজের বা অনিয়মিত বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলো পরস্পর অসমান, তাই এর বাহুগুলো পরস্পর অসমান হয়।


সর্বশেষ সম্পাদিত ও পরিমার্জিতঃ 14/06/2020