সহজ করে কিছু শেখা

সামান্তরিক

এই টিউটোরিয়ালটি শেষে ...

সামান্তরিক কাকে বলে তা ব্যাখ্যা করা যাবে।

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কি তা বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।

সামান্তরিকের পরিসীমার সূত্র তৈরি করতে পারা যাবে।

সামান্তরিকের কর্ণ নির্ণয়ের সূত্র উদ্ভাবন করতে পারা যাবে।

সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।



সামান্তরিক কাকে বলে

যে চতুর্ভূজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে।

সামান্তরিক হলো সাধারণ চতুর্ভূজের একটি বিশেষ রূপ।

সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান।

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সামান্তরিকের যে কোন কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলোর পরিমাপ পরস্পর সমান।

সামান্তরিকের বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলোর সমষ্টি তার কর্ণদ্বয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান।


বাহু ও কোণের ভিত্তিতে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের এ্যাপ


বাহু ও কোণ লিখি

দৈর্ঘ্য a:
দৈর্ঘ্য b:
কোণ θ:

পরিসীমাঃ

ক্ষেত্রফলঃ

প্রথমে বাটন নির্বাচন; অতপরঃ নিচের ডানদিকের লাল অংশ ড্রাগ করলে পরিবর্তন লক্ষ্য করা যায়।


সামান্তরিক সূত্র

সাধারণভাবে, যেসব সামান্তরিকের সূত্র সচরাচর ব্যবহৃত হয় তা নিচে দেওয়া হলো।


সামান্তরিকের পরিসীমা

সামান্তরিকের সবগুলো বাহুর সমষ্টিকে সামান্তরিকের পরিসীমা বলে। একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত যে কোন দুইটি বাহু জানা থাকলে সামান্তরিকের পরিসীমা নির্ণয় করা যায়।


সামান্তরিকের পরিসীমার সূত্র

মনে করি, একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুইটি a এবং b.

আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান।

সুতরাং, সামান্তরিকের পরিসীমা হবে-

P = (a+b+a+b) একক

বা, P = (২a+২b) একক

∴ P = ২(a+b) একক


সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

h b

সামান্তরিকের ভূমি ও উচ্চতা দেখা যাচ্ছে।

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো একটি সামান্তরিক তার চারটি বাহু দ্বারা কতটুকু জায়গা বা সমতল দখল করে আছে তার সমান। সামান্তরিক ক্ষেত্রফল একাধিকভাবে নির্ণয় করা যায়। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের আগে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সূত্র কি - তা জানা দরকার। সামান্তরিকের ভূমিকে এর উচ্চতা দিয়ে গুণ করলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।


সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল এর সূত্র

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে গিয়ে প্রথমে জানতে হবে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কি? তাহলে দেখা যাক, সামান্তরিকের ভূমি ও উচ্চতা দেওয়া থাকলে সূত্রটি কেমন হয়।

মনে করি, একটি সামান্তরিকের ভূমি b এবং উচ্চতা h.

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল =( ভূমি × উচ্চতা ) বর্গ একক অর্থাৎ,

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (b × h) বর্গ একক

এখন, মনে প্রশ্ন জাগতে পারে যে, ভূমিকে উচ্চতা দিয়ে গুণ করলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়, কিভাবে? তাহলে আমরা সূত্রটি উদ্ভাবন করতে পারি।

h b

সামান্তরিকের ভূমি ও উচ্চতা কর্ণ দেখা যাচ্ছে।

১ম ধাপঃ ABCD একটি সামান্তরিক আঁকি।

২য় ধাপঃ সামান্তরিকটির শীর্ষবিন্দু A থেকে ভূমির উপর একটি লম্ব AP আঁকি অর্থাৎ AP⊥BC আঁকি যেখানে AP = h এবং BC = b.

৩য় ধাপঃ AC কর্ণ আঁকি।

৪র্থ ধাপঃ আবার সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভূজে বিভক্ত করে। ∴ ꕔABC = ꕔACD.

৫ম ধাপঃ ▱ABCD = △ABC + △ACD

বা, ▱ABCD = △ABC+△ABC [∵ △ABC = △ACD]

বা, ▱ABCD = ২.△ABC

বা, ▱ABCD = ২ × BC.AP

বা, ▱ABCD = BC.AP

∴ ▱ABCD= bh

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল =( ভূমি × উচ্চতা ) বর্গ একক (প্রমাণিত)।


সামান্তরিক উদাহরণ

একটি সামান্তরিক

সামান্তরিকের কর্ণের সূত্র

সামান্তরিকের কর্ণ বলতে বুঝায় সামান্তরিকটির দুইটি বিপরীত কৌণিক বিন্দুর দুরত্ব। এই দুরত্ব নির্ণয় করতে হলে সামান্তরিকের কর্ণ নির্ণয়ের সূত্র কি তা আগে জানতে হবে।

মনে করি, একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুইটি a ও b এবং তাদের অন্তর্ভূক্ত কোণ θ.

সুতরাং, সামান্তরিকের কর্ণ d = √(a² + b²- 2ab cosθ).

h b A B P C D

সামান্তরিকের ভূমি, উচ্চতা ও কর্ণ দেখা যাচ্ছে।


সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য

  • সামান্তরিকের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ বা ৩৬০
  • সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০
  • সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
  • সামান্তরিকের ভূমিকে উচ্চতা দিয়ে গুণ করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
  • সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল এর যে কোন কর্ণদ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমান।
  • সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
  • সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সবসময়ই সামান্তরিকের অভ্যন্তরে অবস্থান করে।
  • সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
  • সামান্তরিকের কর্ণদ্বারা সামান্তরিকটি দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।
  • সামান্তরিকের একটি কর্ণ এর অপর কর্ণ দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
  • সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি এর বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলোর সমষ্টি সমান।
  • সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সামান্তরিকটিকে চারটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
  • সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দুইটি a এবং b হলে পরিসীমা = 2(a+b).
  • সামান্তরিকের বাহুচারটির উপর অন্তঃস্থ বা বহিঃস্থভাবে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলোর কেন্দ্র হবে কোন একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দু।

সর্বশেষ সম্পাদিত ও পরিমার্জিতঃ 14/06/2020