LEARN THINGS THE EASY WAY
English

রম্বস ও রম্বসের ক্ষেত্রফল

রম্বস হলো বিশেষ ধরণের একটি চতুর্ভুজ।

এই টিউটোরিয়ালটি শেষে -

রম্বস কাকে বলে - তা ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র নির্ণয় করতে পারা যাবে।

রম্বসের পরিসীমা নির্ণয় করতে পারা যাবে।

রম্বসের কর্ণের সূত্র উদ্ভাবন করতে পারা যাবে।

রম্বসের বাহু ও কোণগুলোর মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

রম্বস কাকে বলে

যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর তাকে রম্বস বলে।

প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।

রম্বসকে অনেকসময় ডায়মন্ড বলা হয় কারণ এটি দেখতে অনেকটা ডায়মন্ডের মত।

আবার এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

রম্বস উদাহরণ

×

একটি রম্বস

আরেকটি রম্বস দেখা যাচ্ছে।

রম্বসের সূত্র

রম্বসের পরিসীমা

রম্বসের বাহুগুলোর সমষ্টিকে রম্বসের পরিসীমা বলে।

যেহেতু রম্বসের বাহুগুলো পরস্পর সমান, তাই রম্বসের একটি বাহু জানা থাকলে এর পরিসীমা নির্ণয় করা যায়। আবার রম্বসের কর্ণ দুইটি জানা থাকলে সেখান থেকে এর বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়; অতপর রম্বসের পরিসীমা নির্ণয় করা যায়।

রম্বসের পরিসীমার সূত্র

মনে করি, $ABCD$ একটি রম্বস এবং $AB = BC = CD = AD = a$.

আমরা জানি, রম্বসের বাহুগুলো পরস্পর সমান।

সুতরাং, রম্বসের পরিসীমা হবে-

\begin{equation*}\begin{split}\text{P } &=AB+BC+CD+AD\\ &=a+a+a+a\\ &=4a\end{split} \end{equation*}

একটি রম্বস চিত্র, রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য দেখাচ্ছে।

$ABCD$ রম্বসের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a$ হলে, পরিসীমা

\begin{equation*}\text{P }=4a\end{equation*}

রম্বসের কর্ণ

রম্বসের বিপরীত কৌণিক বিন্দু দুইটি যোগ করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায় তাকে রম্বসের কর্ণ বলে।

রম্বসের এরূপ দুই জোড়া বিপরীত কৌণিক বিন্দু রয়েছে। দুই জোড়া কৌণিক বিন্দুর জন্য দুইট কর্ণ পাওয়া যায়। তাই রম্বসের কর্ণ দুইটি।

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমুদ্বখণ্ডিত করে।

রম্বসের কর্ণ নির্ণয়ের সূত্র

রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে রম্বসের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। তাহলে দেখা যাক- কিভাবে রম্বসের কর্ণ নির্ণয়ের সূত্র উদ্ভাবন করা যায়।

মনে করি, $ABCD$ রম্বসের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $AB, BC, CD$ ও $AD$; এবং $AC$ ও $BD$ এর দুইটি কর্ণ।

যেহেতু রম্বসের বাহুগুলো পরস্পর সমান, তাহলে মনে করি, $AB = BC = CD = AD = a$ এবং কর্ণ $AC = d_{1}$ ও $BD = d_{2}$

$\triangle ABC$ -এ কোসাইন ল (law of cosines) হতে পাই,

\begin{equation*}\begin{split} AC^2&=AB^2+BC^2-2AB.BC.cosB\\ or,d_{1}^2 &=a^2+a^2-2a.a cosB\\ or,d_{1} &= \sqrt{2a^2-2a^2 cosB}\\ &= \sqrt{2a^2-2a^2 cos(180^0-A)} [\because A+B = 180^0]\\ &= \sqrt{2a^2-2a^2 (-cosA)}\\ &= \sqrt{2a^2+2a^2 cosA}\\ &= \sqrt{a^2(2+2cosA)}\\ \therefore d_{1}&= a\sqrt{2+2cosA}\\ \end{split} \end{equation*}

আবার, $\triangle ABD$ -এ কোসাইন ল (law of cosines) হতে পাই,

\begin{equation*}\begin{split} BD^2&=AB^2+AD^2-2AB.AD.cosA\\ or,d_{2}^2 &=a^2+a^2-2a.a cosA\\ or,d_{2} &= \sqrt{2a^2-2a^2 cosA}\\ &= \sqrt{a^2(2-2cosA)}\\ \therefore d_{2}&= a\sqrt{2-2cosA}\\ \end{split} \end{equation*}

একটি রম্বস চিত্র, রম্বসের কর্ণের দৈর্ঘ্য দেখাচ্ছে।

$ABCD$ রম্বসের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a$ এবং বৃহত্তর ও ক্ষুত্রতর কর্ণ যথাক্রমে $d_{1}$ ও $d_{2}$ হলে,

\begin{equation*}d_{1}= a\sqrt{2+2cosA}\\ d_{2}= a\sqrt{2-2cosA}\end{equation*}

রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র

রম্বসের কর্ণদ্বয় জানা থাকলে অথবা রম্বসের ক্ষেত্রফল ও একটি কর্ণ দেওয়া থাকলে রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। তাহলে দেখা যাক, রম্বসের কর্ণ দুইট দেওয়া থাকলে কিভাবে রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র উদ্ভাবন করা যায়।

প্রথম পদ্ধতিঃ মনে করি, $ABCD$ রম্বসের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a$ এবং কর্ণ দুইটি $d_{1}$ ও $d_{2}$ পরস্পর $o$ বিন্দেুতে ছেদ করেছে। জানা আছে, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\therefore \angle AOB=90^0$

$\therefore$ সমকোণী $\triangle AOB$ থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে লিখা যায়,

\begin{equation*}\begin{split} AB^2&=OA^2+OB^2\\ or,a^2&=\left(\dfrac{d_{1}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{d_{2}}{2}\right)^2\\ or,a^2&=\dfrac{d_{1}^2}{4}+\dfrac{d_{2}^2}{4}\\ or,a^2&=\dfrac{d_{1}^2+d_{2}^2}{4}\\ or,a&=\sqrt{\dfrac{d_{1}^2+d_{2}^2}{4}}\\ \therefore a&=\dfrac{\sqrt{d_{1}^2+d_{2}^2}}{2}\\ \end{split} \end{equation*}

দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ জানা আছে সামান্তরিকের বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রগুলোর সমষ্টি ঐ সামান্তরিকের কর্ণ দুইটির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান। রম্বস একটি সামান্তরিক।

\begin{equation*}\begin{split} \therefore AB^2+BC^2+CD^2+AD^2&=d_{1}^2+d_{2}^2\\ or,a^2+a^2+a^2+a^2&=d_{1}^2+d_{2}^2\\ or,4a^2&=d_{1}^2+d_{2}^2\\ or,a^2&=\dfrac{d_{1}^2+d_{2}^2}{4}\\ or,a&=\sqrt{\dfrac{d_{1}^2+d_{2}^2}{4}}\\ \therefore a&=\dfrac{\sqrt{d_{1}^2+d_{2}^2}}{2}\\ \end{split} \end{equation*}

$ABCD$ রম্বসের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a$ এবং কর্ণ দুইটি $d_{1}$ ও $d_{2}$ হলে,

\begin{equation*}\begin{split}a&=\dfrac{\sqrt{d_{1}^2+d_{2}^2}}{2} \end{split} \end{equation*}

রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

রম্বসের ক্ষেত্রফল বলতে বুঝায়, এর চারটি বাহু দ্বারা বেষ্টিত জায়গা। রম্বসের কর্ণদ্বয়ের মান জানা থাকলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।

আবার, রম্বসের একটি বাহু ও সন্নিহিত কোণের পরিমাপ দেওয়া থাকলে এর কর্ণ নির্ণয় করা যায়; অতপর কর্ণদ্বয়ের মান ব্যবহার করে রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়। রম্বসের ক্ষেত্রফল একাধিক পদ্ধতিতে নির্ণয় করা যায়।

রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র

প্রথম পদ্ধতিঃ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফলকে অর্ধেক করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।

$ABCD$ রম্বসের কর্ণ দুইটি $d_{1}$ ও $d_{2}$ হলে, এর ক্ষেত্রফল হবে

$A=\dfrac{1}{2}d_{1}.d_{2}$ বর্গ একক

দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ সামান্তরিকের ভূমিকে উচ্চতা দ্বারা গুণ করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়। রম্বস একটি সামান্তরিক।

রম্বসের ভূমিকে উচ্চতা দ্বারা গুণ করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।

মনে করি, $ABCD$ রম্বসের বাহু বা ভূমি $a$, উচ্চতা $h$ এবং ক্ষেত্রফল $A$ হলে,

$A=a.h$ বর্গ একক

তৃতীয় পদ্ধতিঃ রম্বসের যেকোন কোণের সাইন(sine)কে বাহুর বর্গ দ্বারা গুণ করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।

মনে করি, $ABCD$ রম্বসের বাহু $a$ এবং ক্ষেত্রফল $A$ হলে,

$A=a^2.sinA$ বর্গ একক

চতুর্থ পদ্ধতিঃ মনে করি, $ABCD$ রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ এবং $BD$ একটি কর্ণ।

\begin{equation*}\begin{split}\square ABCD&=\triangle ABD+\triangle BCD\\ &=\triangle ABD+\triangle ABD \left[\because \triangle ABD \cong \triangle BCD\right]\\ &=2\triangle ABD\\ &=2.\dfrac{1}{2}a.a.sinA\\ &=a^2.sinA \end{split} \end{equation*}

$ABCD$ রম্বসের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a$, কর্ণ যথাক্রমে $d_{1}$ ও $d_{2}$ এবং ক্ষেত্রফল $A$ হলে,

\begin{equation*}\begin{split} A&=\dfrac{1}{2}d_{1}.d_{2}\\ A&=a.h\\ A&=a^2.sinA \end{split} \end{equation*}

রম্বসের বৈশিষ্ট্য

  • রম্বসের বাহুগুলো পরস্পর সমান।
  • রম্বসের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০
  • রম্বসের একটি কর্ণ অন্য কর্ণটিকে সমকোণে ছেদ করে।
  • রম্বসের যে কোন কর্ণ রম্বসটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
  • রম্বসের বিপরীত কোণগুলোর পরিমাপ পরস্পর সমান।
  • রম্বসের কর্ণ দুইটি পরস্পর অসমান।
  • রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফলকে অর্ধেক করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
  • রম্বসের একজোড়া সমান্তরাল বিপরীত বাহু দুইটির মধ্যবর্তী দুরত্বই এর উচ্চতা বলে বিবেচিত হয়।
  • রম্বসের প্রত্যেক কর্ণ সংশ্লিষ্ট বিপরীত কোণ দুইটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
  • রম্বসের একটি বাহু জানা থাকলে এর পরিসীমা নির্ণয় করা যায়।
  • রম্বসের একটি কোণ সমকোণ হলে তখন এটি বর্গক্ষেত্র হয়ে যায়।
  • রম্বসের কর্ণদ্বয় রম্বসটিকে চারটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
  • রম্বসের একটি বাহু ও একটি কর্ণ জানা থাকলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
  • রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
  • রম্বসের বাহু বা ভূমিকে উচ্চতা দিয়ে গুণ করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
  • রম্বসের একটি কোণ জানা থাকলে অন্য সবগুলো কোণ নির্ণয় করা যায়।
  • রম্বসের প্রত্যেকটি কর্ণ রম্বসটিকে দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ -এ বিভক্ত করে।
  • রম্বসের একটি বাহু ও একটি সন্নিহিত কোণ জানা থাকলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।

সর্বশেষ সম্পাদিত ও পরিমার্জিতঃ 14/07/2018