LEARN THINGS THE EASY WAY
English

বিষমবাহু ত্রিভুজ ও বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

বিষমবাহু ত্রিভুজ হলো সকল ত্রিভুজের সাধারণীকরণ (generalization)।

এই টিউটোরিয়ালটির শেষে ...

বিষমবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে তা জানা যাবে।

বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র নির্ণয় শিখা যাবে।

ত্রিভুজের পরিসীমার সূত্র শিখা যাবে।

বিভিন্ন ধরণের বিষমবাহু ত্রিভুজের চিত্র সম্পর্কে জ্ঞানলাভ করা যাবে।

বিষমবাহু ত্রিভুজ

যে ত্রিভুজের বাহুগুলো পরস্পর অসমান তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।

অন্যভাবে বলা যায় ...

ত্রিভুজের কোণগুলো পরস্পর অসমান হলে তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।

সমতল জ্যামিতির অন্তর্গত ব্যাসিক জ্যামিতি চিত্রের অন্যতম একটি হলো ত্রিভুজ। আর সব ত্রিভুজের সাধারণ রূপ হলো বিষমবাহু ত্রিভুজ। অর্থাৎ, এই ত্রিভুজ সকল ত্রিভুজকে প্রতিনিধিত্ব করে।

বিষমবাহু ত্রিভুজের উদাহরণ

×

বিষমবাহু ত্রিভুজ

এই ত্রিভুজের বাহুগুলো পরস্পর অসমান।

আরেকটি বিষমবাহু ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

বিষমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমার সূত্র

বিষমবাহু ত্রিভুজের সবগুলো বাহুর সমষ্টিকে তার পরিসীমা বলে।

মনে করি, $\triangle ABC$ এর $BC=a, AC=b$ এবং $AB=c.$

তাহলে পরিসীমা, $2s=a+b+c$

বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

মনে করি, $\triangle ABC$ এর $BC=a, AC=b$ এবং $AB=c.$

তাহলে পরিসীমা, $2s=a+b+c$

$AD\bot BC$ আঁকি। মনে করি, $BD=x.$

$\therefore CD=a-x.$

সমকোণী $\triangle ABD$ এবং $\triangle ACD$ হতে লিখা যায় যথাক্রমে,

\begin{equation}AD^2=AB^2-BD^2\end{equation} এবং \begin{equation}AD^2=AC^2-CD^2\end{equation}

\begin{equation*}\begin{split}\therefore AB^2-BD^2 &=AC^2-CD^2 \qquad \text{[from(1) and (2)]}\\ c^2-x^2 &=b^2-(a-x)^2\\c^2-x^2 &=b^2-a^2+2ax-x^2 \\ 2ax &=c^2+a^2-b^2 \\x &=\frac{c^2+a^2-b^2}{2a} \end{split}\end{equation*}

আবার, \begin{equation*}\begin{split}AD^2 &=c^2-x^2\\ &=c^2-\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2\\ &=\left(c+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)\left(c-\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)\\ &=\left(\dfrac{2ac+c^2+a^2-b^2}{2a}\right)\left(\dfrac{2ac-c^2-a^2+b^2}{2a}\right)\\ &=\dfrac{\{(c+a)^2-b^2\}\{b^2-(c-a)^2\}}{4a^2}\\ &=\dfrac{(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)}{4a^2}\\ &=\dfrac{(a+b+c)(a+b+c-2b)(a+b+c-2a)(a+b+c-2c)}{4a^2}\\ &=\dfrac{2s(2s-2b)(2s-2a)(2s-2c)}{4a^2}\\ &=\dfrac{2.2.2.2s(s-b)(s-a)(s-c)}{4a^2}\\ &=\dfrac{4s(s-b)(s-a)(s-c)}{a^2}\\ \therefore AD &=\sqrt{\dfrac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{a^2}}\\ &=\frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ \end{split}\end{equation*}

\begin{equation*}\begin{split}\therefore\triangle ABC &=\frac{1}{2}BC.AD\\ &=\frac{1}{2}.a.\frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ \end{split} \end{equation*}

বিষমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য

  • বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য পরস্পর অসমান।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a,b,c$ একক হলে, পরিসীমা $2s=a+b+c$ একক।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a,b,c$ একক, অর্ধ-পরিসীমা $s$ একক এবং ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হলে, $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ বর্গ একক।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর অসমান।
  • $ABC$ ত্রিভুজের $\angle A$ এর সমদ্বিখণ্ডক $BC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে এবং $ABC$ পরিবৃত্তকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে $AD^2=AB.AC-BD.DC$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দুকে ভরকেন্দ্র (centroid) বলে।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র থেকে বাহুত্রয়ের উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটির দৈর্ঘ্য পরস্পর অসমান।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজ $ABC$ -এ $\angle B=120^0$ হলে, $AC^2=AB^2+BC^2+AB.BC$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের কোণ তিনটির পরিমাপ পরস্পর অসমান।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষতিনটি থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয় পরস্পর অসমান।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a,b,c$ একক, $c$ বাহুর বিপরীত কোণ $90^0$ এবং মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য $d,e,f$ একক হলে, $2(d^2+e^2+f^2)=3c^2$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি যে বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করে তাকে লম্বকেন্দ্র (orthocenter) বলে।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে তার মধ্যমাগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $BC$ বাহু $P$ এবং $Q$ বিন্দুতে সমান তিনটি অংশে বিভক্ত হলে, $AB^2+AC^2=AP^2+AQ^2+4PQ^2$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র, ও লম্বকেন্দ্র চারটি ভিন্ন বিন্দু।
  • বিষমবাহু $\triangle ABC$ -এর $BC$ বাহুর মধ্যমা $AD$ হলে, $AB^2+BC^2=2(AD^2+BD^2)$.
  • স্থুলকোণী ত্রিভুজ এর স্থুলকোণ এর বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ কোণের সন্নিহিত অন্য দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফল এবং ঐ দুই বাহুর যেকোনে একটি ও তার উপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান।
  • ত্রিভুজের যেকোন দুইটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা $180^0$ অপেক্ষা বৃহত্তর।
  • বিষমবাহু $\triangle ABC$ -এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a,b,c$ এর উপর অঙ্কিত মধ্যমা যথাক্রমে $d,e,f$ হলে, \begin{equation*}\begin{split}d^2 &=\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{4},\\ e^2 &=\dfrac{2(c^2+a^2)-b^2}{4},\\ f^2 &=\dfrac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}.\\ \end{split} \end{equation*}
  • ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণ তিনটির সমদ্বিখণ্ডকগুলো পরস্পর যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র (incenter) বলে।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $\angle ACB$ একটি স্থুলকোণ হলে, $AB^2\gt AC^2+BC^2$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $\angle B$ ও $\angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর $O$ বিন্দুতে মিলিত হলে, $\angle BOC=90^0+\dfrac{1}{2}\angle A$.
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $BC$ বাহুর উপর লম্ব $AD$ এবং $AC$ বাহুর উপর লম্ব $BE$ হলে, $BC.CD=AC.CE$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর অসমান বলে যেকোন বাহুর মধ্যমা সংশ্লিষ্ট ঐ বাহুর উপর লম্ব হতে পারে না।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $\angle ACB$ একটি সমকোণ হলে, $AB^2=AC^2+BC^2$.
  • ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের সমষ্টি তার পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $BC$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$ হলে, $AB+AC\gt 2AD$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের যেকোন সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $a$ ও $b$ একক এবং তাদের অন্তর্ভূক্ত কোণ $\theta$ এবং ক্ষেত্রফল $A$ বর্গ একক হলে, $A=\dfrac{1}{2}ab sin\theta$ বর্গ একক।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের যে তিনটি বহিঃবৃত্ত আঁকা যায়, তারা (বৃত্ত তিনটি) পরস্পর অসমান।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $\angle ACB$ একটি সূক্ষ্মকোণ হলে, $AB^2\lt AC^2+BC^2$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $a,b,c$ এর উপর অঙ্কিত মধ্যমা যথাক্রমে $d,e,f$ হলে, $3(a^2+b^2+c^2)=4(d^2+e^2+f^2)$.
  • বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণের সমান।
  • বিষমবাহু $\triangle PQR$ -এর মধ্যমাদ্বয় $PA$ ও $QB$ পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $PQ+PR \gt QO+RO$.
  • ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বসমদ্বিখণ্ডক তিনটি পরস্পর যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে পরিকেন্দ্র (circumcenter) বলে।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $AC$ ও $AB$ বাহুর উপর যথাক্রমে $BE$ ও $CF$ লম্ব হলে, $\triangle ABC:\triangle AEF=AB^2:AE^2$.
  • ত্রিভুজ $ABC$ -এ $AB \gt AC$ এবং $\angle A$ এর সমদ্বিখণ্ডক $AD$, $BC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $\angle ADB$ একটি স্থুলকোণ হয়।
  • ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত লম্বতিনটির দৈর্ঘ্য পরস্পর অসমান।
  • $ABC$ এর পরিবৃত্তস্থ যেকোন বিন্দু $P$ থেকে $BC$ ও $CA$ বাহুর উপর যথাক্রমে $PD$ ও $PE$ লম্ব এবং $ED$ রেখাংশ $AB$ কে $O$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $PO$ রেখা $AB$ এর উপর লম্ব অর্থাৎ $PO\perp AB.$
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে শীর্ষ থেকে ভূমির দিকে $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত করে।
  • বিষমবাহু ত্রিভুজ $ABC$ এর $\angle B=60^0$ হলে, $AC^2=AB^2+BC^2-AB.BC$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের যেকোন মধ্যমা ত্রিভুজটিকে দুইটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $D$ ও $E$ যথাক্রমে $AB$ ও $AC$ এর মধ্যবিন্দু এবং $\angle B$ ও $\angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর $O$ বিন্দুতে মিলিত হলে, $DE \parallel BC$ এবং $DE=\dfrac{1}{2}BC$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়, বাহুগুলোর লম্বসমদ্বিখণ্ডকত্রয়, কোণগুলোর সমদ্বিখণ্ডকত্রয় এবং লম্বত্রয় চারটি ভিন্ন রেখাংশ।
  • বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$ এর $\angle C=90^0$ এবং $BC$ এর মধ্যবিন্দু $D$ হলে, $AB^2=AD^2+3BD^2$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুতিনটির দুরত্ব পরস্পর সমান।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর শীর্ষত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর লম্ব $AD,BE$ ও $CF$ রেখাত্রয় পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $AO.OD=BO.OE=CO.OF$.
  • বিষমবাহু $\triangle PQR$ -এর মধ্যমাত্রয় $PA,QB,RC$ পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $PA+QB+RC \lt PQ+QR+PR$.
  • যেকোন ত্রিভুজ এর সূক্ষ্মকোণ এর বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনে একটি ও তার উপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ পরিমান কম।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $\angle ACB$ একটি স্থুলকোণ, $AB$ স্থুলকোণের বিপরীত বাহু, স্থুলকোণের সন্নিহিত বাহুদ্বয় $AC$ ও $BC$ এবং $BC$ বাহুর বর্ধিতাংশের উপর $AC$ বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ $CD$ হলে, $AB^2=AC^2+BC^2+2BC.CD$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজ $ABC$ এর মধ্যমাত্রয় পরস্পর $G$ বিন্দুতে মিলিত হলে, $AB^2+BC^2+AC^2=3(GA^2+GB^2+GC^2)$.
  • ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
  • ত্রিভুজ $ABC$ এর $\angle ACB$ একটি সূক্ষ্মকোণ, $AB$ সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহু, সূক্ষ্মকোণের সন্নিহিত বাহুদ্বয় $AC$ ও $BC$ এবং $BC$ বাহুর উপর $AC$ বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ $CD$ হলে, $AB^2=AC^2+BC^2-2BC.CD$.
  • বিষমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র থেকে বাহুগুলোর উপর অঙ্কিত লম্বতিনটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
  • ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা $180^0.$
  • ত্রিভুজ এর যেকোন দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ দুই বাহুর সমদ্বিখণ্ডক মধ্যমার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ।
  • ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
  • ত্রিভুজের লম্ববিন্দু থেকে শীর্ষের দুরত্ব, পরিকেন্দ্র থেকে ঐ শীর্ষের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব দুরত্বের দ্বিগুনের সমান।

সর্বশেষ সম্পাদিত ও পরিমার্জিতঃ 14/11/2018