চতুর্ভুজ

চতুর্ভুজ কি

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা চার হলে তাকে চতুর্ভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, যে বহুভুজের চারটি শীর্ষ থাকে তাকে চতুর্ভুজ বলে। আর চতুর্ভুজ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজক্ষেত্র বলে। তাই বলা যায়, চার বাহুবিশিষ্ট ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে। চতুর্ভুজের বাহুর সংখ্যা চারটি হওয়ার কারণে এর কোণের সংখ্যাও চার। চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো একই তল বিশিষ্ট হয়। আরও সুস্পষ্ট করে বললে, একই সমতল চতুর্ভুজের শীর্ষ বা কৌণিক বিন্দুগুলোকে ধারণ করে অর্থাৎ, চতুর্ভুজের শীর্ষগুলো একই সমতলে অবস্থিত।

হলুদ অংশ ড্রাগ করে পরিবর্তন লক্ষ্য করা যায়।

চতুর্ভূজ একপ্রকার বহুভুজ যার বাহুর সংখ্যা চার। সুতরাং, বহুভুজের একটি বিশেষ আকার হলো চতুর্ভুজ। বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি (n-২) × ১৮০°। চতুর্ভুজের বাহুর সংখ্যা n = 4 এবং অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি S হলে,

S = (n-২) × ১৮০°

বা, S = (৪-২) × ১৮০°

বা, S = ২ × ১৮০°

∴ S = ৩৬০°

সুতরাং, চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ ৩৬০°। সমতল জ্যামিতি চতুর্ভুজ নিয়ে আলোচনা করে।

নিম্নলিখিত উপায়ে মোটামুটিভাবে চতুর্ভুজ এর শ্রেণীবিভাগ করা যায়।

• সরল চতুর্ভুজ
  • উত্তল চতুর্ভুজ (অন্তঃস্থ কোণ < ১৮০°)
    • স্পর্শক চতুর্ভুজ
    • ট্রাপিজিয়াম
    • সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম
    • সমান তিন-বাহু ট্রাপিজিয়াম
    • সমকোণী ট্রাপিজিয়াম
    • চক্রাকার চতুর্ভুজ
    • ঘুড়ি
    • সামান্তরিক
    • রম্বস
    • আয়ত
    • দ্বি-কেন্দ্রিক চতুর্ভুজ
    • বর্গ
    • অনিয়মিত চতুর্ভুজ
  • অবতল চতুর্ভুজ (অন্তঃস্থ কোণ > ১৮০°)
• জটিল চতুর্ভুজ (একটি বাহু অন্য বাহুর ছেদক)

চতুর্ভুজ প্রধানতঃ দুই প্রকার। যথা -

• সরল চতুর্ভুজ
• জটিল চতুর্ভুজ

সরল চতুর্ভুজ

যে চতুর্ভুজের কোনো বাহু অন্য কোনো বাহুর ছেদক নয় তাকে সরল চতুর্ভুজ বলে।

চিত্রে, চতুর্ভুজ দুইটির একটি বাহু অন্য বাহুর ছেদক নয় অর্থাৎ, একটি বাহু অন্য বাহুকে শীর্ষবিন্দু ব্যতীত অন্য কোন বিন্দুতে ছেদ করে না করেনা। তাই এরা উভয়েই সরল চতুর্ভুজ। লক্ষণীয়, একটি চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ ১৮০° অপেক্ষা কম। তাই এটি সরল চতুর্ভুজের অন্তর্গত একটি উত্তল চতুর্ভুজ। আর অপর ত্রিভুজটির একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ ১৮০° অপেক্ষা বেশি। তাই এটি সরল চতুর্ভুজের অন্তর্গত একটি অবতল চতুর্ভুজ।

আবার, সরল চতুর্ভুজ প্রধানতঃ দুইভাগে বিভক্ত। যথা -

• উত্তল চতুর্ভুজ
• অবতল চতুর্ভুজ

উত্তল চতুর্ভুজ

চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ ১৮০° অপেক্ষা ছোট এবং কর্ণ দুইটির উভয়েই চতুর্ভুজের অভ্যন্তরে অবস্থান করলে তাকে উত্তল চতুর্ভুজ বলে।

প্রথম চিত্রে, চতুর্ভুজটির প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের মান ১৮০° অপেক্ষা ছোট। আবার কর্ণ দুইটির প্রত্যেকটি চতুর্ভুজটির অভ্যন্তরে বিরাজমান। তাই এটি একটি উত্তল চতুর্ভুজ। দ্বিতীয় চিত্রে, চতুর্ভুজটির একটি অন্তঃস্থ কোণ ১৮০° অপেক্ষা বড়। তাছাড়া, চতুর্ভুজটির একটি কর্ণ চতুর্ভুজটির বাইরে অবস্থান করে। তাই এটি কোনো উত্তল চতুর্ভুজ নয়; বরং এটি একটি অবতল চতুর্ভুজ।

উত্তল চতুর্ভুজের মধ্যে যেসব চতুর্ভুজ অন্তর্ভূক্ত তা হলোঃ

• স্পর্শক চতুর্ভুজ
• ট্রাপিজিয়াম
• সমকোণী ট্রাপিজিয়াম
• সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম
• সমান তিন-বাহু ট্রাপিজিয়াম
• চক্রাকার চতুর্ভুজ
• ঘুড়ি
• সামান্তরিক
• রম্বস
• দ্বি-কেন্দ্রিক চতুর্ভুজ
• আয়ত
• বর্গ

ট্রাপিজিয়াম

চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল হলে তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

চিত্রে, চতুর্ভুজটির দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল। তাই এটি একটি ট্রাপিজিয়াম। ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি সবসময়ই অসমান হয়। কারণ সমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হলে এটি আর ট্রাপিজিয়াম থাকেনা। এটি তখন সামান্তরিক হয়ে যায়।

ট্রাপিজিয়ামের সূত্র

ট্রাপিজিয়ামের পরিসীমা = { (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) + (তীর্যক বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) } একক

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১২ × { (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা } বর্গ একক

সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম

যে চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল এবং ভূমিকোণ দুইটির পরিমাপ পরস্পর সমান তাকে সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বলে। ট্রাপিজিয়ামের ভূমি বলতে সমান্তরাল বাহু দুইটিকে বুঝায়। আর সমান্তরাল বাহু দুইটির সাথে যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদেরকে ভূমি কোণ বলে অর্থাৎ ভূমির সাথে যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারা ভূমি কোন বলে পরিচিত।

চিত্রে, ABCD ট্রাপিজিয়ামের AD ও BC বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল। ভূমি BC -এর সাথে ∠ABC এবং ∠BCD উৎপন্ন হয়েছে। তাই এরা উভয়েই এক-একটি ভূমিকোণ এবং ∠ABC = ∠BCD.

আবার, ভূমি AD -এর সাথে ∠BAD এবং ∠CDA উৎপন্ন হয়েছে। তাই এরা উভয়েই এক-একটি ভূমিকোণ এবং ∠BAD = ∠CDA.

ভূমিকোণদ্বয় সমান হওয়ার কারণে ট্রাপিজিয়ামের AB ও CD বাহু দুইটিও পরস্পর সমান অর্থাৎ, AB = CD. ট্রাপিজিয়ামের এই দুইটি বাহু সমান হওয়ার কারণেই ট্রাপিজিয়ামটির নাম সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সূত্র

সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের পরিসীমা = { (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) + ২ × (সমান বাহু) } একক

সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১২ × { (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা } বর্গ একক

সমান তিন-বাহু ট্রাপিজিয়াম

যে চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল এবং তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান তাকে সমান তিন-বাহু ট্রাপিজিয়াম বলে।

চিত্রে, ABCD চতুর্ভুজের AD ও BC বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল অর্থাৎ, AD ∥ BC. তাই এটি একটি ট্রাপিজিয়াম। ট্রাপিজিয়ামটির তিনটি বাহু পরস্পর সমান অর্থাৎ, AD = AB = CD. অতএব, এটি একটি সমান তিন-বাহু ট্রাপিজিয়াম।

সমান তিন-বাহু ট্রাপিজিয়ামের সূত্র

সমান তিন-বাহু ট্রাপিজিয়ামের পরিসীমা = { (অসমান বাহু) + ৩ × (সমান বাহু) } একক

সমান তিন-বাহু ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১২ × { (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা } বর্গ একক

সমকোণী ট্রাপিজিয়াম

ট্রাপিজিয়ামের সন্নিহিত কোণদ্বয় সমকোণ বা ৯০° হলে তাকে সমকোণী ট্রাপিজিয়াম বলে।

চিত্রে, ABCD ট্রাপিজিয়ামের সন্নিহিত কোণ দুইটি সমকোণ অর্থাৎ AB বাহুর সন্নিহিত ∠ABC ও সন্নিহিত ∠BAD এরা উভয়েই সমকোণ এবং পরস্পর সমান। অতএব ABCD একটি সমকোণী ট্রাপিজিয়াম।

অর্থাৎ, ১৮০° < ∠POQ < ৩৬০°.

সুতরাং, ∠POQ একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

উল্লেখ্য, সমকোণী ট্রাপিজিয়ামের কেবল একটি কোণ সমকোণ হতে পারে না। একটি কোণ সমকোণ হলে আপনা-আপনি দুইটি কোণ একইসাথে সমকোণ হয়ে যায়।

সমকোণী ট্রাপিজিয়ামের সূত্র

সমকোণী ট্রাপিজিয়ামের পরিসীমা = { (সমকোণ সংলগ্ন বাহুত্রয়ের সমষ্টি) + (অপর বাহু) } একক

সমকোণী ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১২ × { (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × (সমকোণদ্বয়ের সাধারণ বাহু) } বর্গ একক

ঘুড়ি

চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান হলে তাকে ঘুড়ি বলে।

ঘুড়ির কেবল একটি কর্ণ অপর কর্ণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাছাড়া, ঘুড়ির কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে। অসমান বাহু দুইটি দ্বারা গঠিত বিপরীত কোণ দুইটি পরস্পর সমান। ঘুড়ির যে দু’টি কর্ণ রয়েছে তাদের মধ্যে কেবল একটি কর্ণ ঘুড়িটিকে দুইটি সর্বসম সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ -এ বিভক্ত করে।

ABCD ঘুড়ির AB = AD ও BC = CD. AB ও BC বাহুদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন ∠ABC এবং AD ও CD বাহুদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন ∠ADC পরস্পর সমান অর্থাৎ, ∠ABC = ∠ADC.

ঘুড়ির সূত্র

ঘুড়ির পরিসীমা = ২ × { (একজোড়া সমান বাহুর একটি) + (অপরজোড়া সমান বাহুর একটি) } একক

ঘুড়ির ক্ষেত্রফল = ১২ × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল) বর্গ একক

ঘুড়ির অসমান বাহু দুইটি a ও b এবং তাদের অন্তর্ভূক্ত কোণ θ হলে,
ঘুড়ির ক্ষেত্রফল = absinθ

সামান্তরিক

চতুর্ভূজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হলে তাকে সামান্তরিক বলে।

চিত্রে, ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ, AB ∥ CD এবং AD ∥ BC. সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান অর্থাৎ, ∠ABC = ∠ADC এবং ∠BAD = ∠BCD. আবার সামান্তরিকের বিপরীত বাহু দুইটিও পরস্পর সমান অর্থাৎ, AB = CD এবং AD = BC.

তাছাড়া, সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণ দুইটির সমষ্টি দুই সমকোণ। অতএব, ∠ABC + ∠BCD = দুই সমকোণ।

সামান্তরিকের সূত্র

সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (একজোড়া সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) একক

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক

সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a ও b এবং তাদের অন্তর্ভূক্ত কোণ θ হলে,

সামান্তরিকের কর্ণ = √(a² + b²- 2ab cosθ).

রম্বস

চতুর্ভুজের চার বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান তাকে রম্বস বলে।

চিত্রে, ABCD চতুর্ভুজের বাহু চারটি পরস্পর সমান অর্থাৎ,AB = BC = CD = AD. তাই এটি একটি রম্বস। আবার রম্বসের বিপরীত কোণ দুইটি পরস্পর সমান অর্থাৎ, ∠ABC = ∠ADC এবং ∠BAD = ∠BCD. তাছাড়া রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

আবার, রম্বসের সন্নিহিত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক। সুতরাং, ∠ABC + ∠BCD = ১৮০°।

রম্বসের সূত্র

রম্বসের পরিসীমা = ৪ × (একবাহুর দৈর্ঘ্য) একক

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১২ × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল) বর্গ একক

রম্বসের বাহু দৈর্ঘ্য a এবং সন্নিহিত কোণ θ হলে,

রম্বসের ক্ষেত্রফল = a²sinθ বর্গ একক

রম্বসের বাহু দৈর্ঘ্য a এবং সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটি কোণ θ হলে,

বৃহত্তর কর্ণ = a√2 + 2cosθ
ক্ষুত্রতর কর্ণ = a√2 - 2cosθ

আয়ত

যে চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ তাকে আয়ত বলে। আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ বা ৯০°। আবার, এর বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।

চিত্রে, ABCD চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৯০°। তাই এটি একটি আয়তক্ষেত্র। আবার AB= বিপরীত বাহু CD এবং AD= বিপরীত বাহু BC. আয়তক্ষেত্রের কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

আয়তক্ষেত্রের সূত্র

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² একক

বর্গ

যে চতুর্ভুজের বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ বা ৯০° তাকে বর্গ বলে। বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান। তাছাড়া এর কর্ণ দুইটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

চিত্রে, ABCD চতুর্ভুজের বাহু চারটি পরস্পর সমান অর্থাৎ, AB = BC = CD = AD. আবার, এর প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৯০° অর্থাৎ, ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD. তাই এটি একটি বর্গক্ষেত্র।

বর্গক্ষেত্রের সূত্র

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × (বাহুর দৈর্ঘ্য) একক

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)² বর্গ একক

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √২ × (বাহুর দৈর্ঘ্য) একক

অনিয়মিত চতুর্ভুজ

চতুর্ভুজের কোনো সমান্তরাল বাহু না থাকলে তাকে অনিয়মিত চতুর্ভুজ বলে। অনিয়মিত চতুর্ভুজ একটি সাধারণ চতুর্ভুজ অর্থাৎ, এটি সকল চতুর্ভুজের সাধারণীকরণ (generalization of quadrilateral)।

আরও সুস্পষ্ট করে বললে, এই চতুর্ভুজ সকল চতুর্ভুজকে প্রতিনিধিত্ব করে। এই চতুর্ভুজটি কোনো কোনো বৈশিষ্ট্য ধারণ করলে অন্যান্য চতুর্ভুজের উৎপত্তি ঘটে। যেমন- একটি অনিয়মিত চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান হলে তা একটি রম্বস হয়ে যায়। আবার এই চতুর্ভুজের একজোড়া বাহু সমান্তরাল হলে তা একটি ট্রাপিজিয়াম হয়ে যায়। চিত্রে, ABCD চতুর্ভুজের কোণ বাহুই পরস্পর সমান্তরাল নয়। তাই এটি একটি অনিয়মিত চতুর্ভুজ।

অবতল চতুর্ভুজ

যে চতুর্ভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণ ১৮০° থেকে বড় এবং ৩৬০° থেকে ছোট এবং একটি কর্ণ চতুর্ভুজের বাইরে অবস্থান করে তাকে অবতল চতুর্ভুজ বলে।

এই চতুর্ভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ অবশ্যই ১৮০° অপেক্ষা বড় হয়। চিত্রে ABCD চতুর্ভুজের একটি অন্তঃস্থ ∠ADC দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় অর্থাৎ, অন্তঃস্থ ∠ADC > ১৮০°। তাছাড়া, একটি কর্ণ AC, চতুর্ভুজটির বাইরে অবস্থিত। তাই এটি একটি অবতল চতুর্ভুজ।

জটিল চতুর্ভুজ

চতুর্ভুজের একটি বাহু অন্য বাহুর ছেদক হলে তাকে জটিল চতুর্ভুজ বলে।

জটিল চতুর্ভুজের একটি বাহু আরেকটি বাহুকে ছেদ করে। এই চতুর্ভুজটিকে ক্রস চতুর্ভুজ (cross quadrilateral) নামেও অভিহিত করা হয়। জটিল চতুর্ভুজের দুইটি অন্তঃস্থ কোণ সূক্ষ্মকোণ এবং দুইটি অন্তঃস্থ কোণ পরস্পর প্রবৃদ্ধ কোণ। সাধারণ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি ৩৬০° হলেও জটিল চতুর্ভুজের চারিটি কোণের সমষ্টি ৭২০°। এটি এই চতুর্ভুজের একটি অনন্য বৈশিষ্ট্য।

তাছাড়া, কতকগুলো অনন্য বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে চতুর্ভুজকে নিম্নলিখিতভাবে শ্রেণিকরণ করা যেতে পারে। যেমন -

যেসব চতুর্ভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান তা হলোঃ

• রম্বস
• বর্গ

যেসব চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো এবং বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান এবং বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল তা হলোঃ

• সামান্তরিক
• রম্বস
• আয়ত
• বর্গ

যেসব চতুর্ভুজের কোণগুলোর পরিমাপ পরস্পর সমান এবং সমকোণ তা হলোঃ

• আয়ত
• বর্গ

যেসব চতুর্ভুজের কর্ণগুলো পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে এবং প্রত্যেক জোড়া সন্নিহিত সমান বাহুদ্বয় একই শীর্ষ বিন্দু থেকে উৎপন্ন হয় তা হলোঃ

• বর্গ
• রম্বস
• ঘুড়ি

যেসব চতুর্ভুজের একজোড়া সমান্তরাল বাহু অসমান তা হলোঃ

• ট্রাপিজিয়াম
• সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম
• সমান তিন-বাহু ট্রাপিজিয়াম
• সমকোণী ট্রাপিজিয়াম

যেসব চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটির মধ্যে কেবল একটি কর্ণ চতুর্ভুজটিকে দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ -এ বিভক্ত করে তা হলোঃ

• ঘুড়ি

যেসব চতুর্ভুজের কোনো সমান্তরাল বাহু থাকে না তা হলোঃ

• ঘুড়ি
• অনিয়মিত চতুর্ভুজ বা সমান্তরাল বাহু ব্যতীত চতুর্ভুজ