ত্রিভুজ কাকে বলে

ইউক্লিডিও জ্যামিতি অনুযায়ী, একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি বিন্দু দ্বারা একটি ও কেবল একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায়। অন্যভাবে বললে, যে বহুভুজের কেবল তিনটি বাহু ও তিনটি শীর্ষবিন্দু থাকে তাকে ত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু বলতে বোঝায়, এর যেকোনো দুইটি বাহু পরস্পর যে বিন্দুতে মিলিত হয়।

বিষমবাহু ত্রিভুজ হলো সকল ত্রিভুজের সাধারণ রূপ। অর্থাৎ বিষমবাহু ত্রিভুজের কোনো কোনো বৈশিষ্ট্যের কারণে অন্যান্য ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়। যেমন বিষমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তখন সেটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হয়ে যায়। একইভাবে, বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে

ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। কোনো কোনো ক্ষেত্রে বলা হয়, যে ত্রিভুজের কেবল দুইটি বাহু সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। আবার, কোনো কোনো ক্ষেত্রে বলা হয়, যে ত্রিভুজের কমপক্ষে দুইটি বাহু পরস্পর সমান, তাই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এক্ষেত্রে, সকল সমবাহু ত্রিভুজকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলা যায়।

অন্যভাবে বলা যায়, যে ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণের মান জানা থাকলে অপর কোণ দুইটির পরিমাপ নির্ণয় করা যায়।

অন্যভাবে বললে, যে ত্রিভুজের কোণ তিনটি পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি ১৮০°। ফলে কোণগুলো পরস্পর সমান হলে, এর প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০° হয়। তাই সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০°।

অতএব বলা যায়, যে ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০° তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। তাছাড়া, সমবাহু ত্রিভুজ একটি সুষম বহুভুজ যার বাহুর সংখ্যা তিন। সুষম বহুভুজ হওয়ার কারণ হলো এই বহুভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান।

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হলে তখন সেইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হয়ে যায়। একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র আঁকা যায় যেখানে প্রতিটি বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর অংশ হয় এবং বর্গক্ষেত্রের অপর দুইটি শীর্ষবিন্দু ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অবস্থিত।

এই ত্রিভুজের স্থূলকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ। আবার এই ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুই বৃহত্তম বাহু। তাছাড়া, ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০° বলে একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণ ছাড়া অপর দুইটি সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি এক সমকোণ অপেক্ষা কম।

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে এবং অতিভুজই সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু। এই ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুইটি পরস্পর পূরক কোণ কারণ এই কোণ দুইটির সমষ্টি ৯০°। সমকোণী ত্রিভুজের উপর ভিত্তি করে পিথাগোরাসের উপপাদ্য গড়ে উঠেছে। এই ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে। তাছাড়া, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটিকে লম্ব ও ভূমি বলে।

বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ একদিকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ এবং একইসাথে বিষমবাহু ত্রিভুজ। আবার, এই ত্রিভুজের বাহত্রয় পরস্পর সমান নয় বলে, কোণ তিনটিও পরস্পর অসমান।

বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ একইসাথে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ এবং বিষমবাহু ত্রিভুজ। আবার, এই ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান বলে, কোণ তিনটিও পরস্পর সমান নয়।

বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ একইসাথে সমকোণী ত্রিভুজ এবং বিষমবাহু ত্রিভুজ। আবার, এই ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান হওয়ার কারণে এর কোণ তিনটিও পরস্পর সমান নয়। এই ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক কোণ।

সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজটির নাম বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, এটি একদিকে যেমন একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ; একই সাথে এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজও বটে। আবার, এই ত্রিভুজের স্থূলকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান; ফলে এর সমান বাহু দুইটির বিপরীত সূক্ষ্মকোণ কোণ দুইটির পরিমাপও পরস্পর সমান। সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুই ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু।

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ একই সাথে দুইটি ত্রিভুজকে প্রতিনিধিত্ব করে। ত্রিভুজ দুইটির একটি হলো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং অন্যটি সমকোণী ত্রিভুজ। এই ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় পরস্পর সমান। সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে এবং এই অতিভুজই ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু। তাছাড়া, এই ত্রিভুজের অতিভুজের সংলগ্ন কোণ দুইটির পরিমাপ পরস্পর সমান।

অতএব, দুইটি সর্বসম ত্রিভুজের একটির সবকিছু অপরটির অনুরপ সবকিছুর সমান। এরূপ একটি ত্রিভুজকে অপরটির উপর স্থাপন করলে করলে সমাপতিত হয়; অর্থাৎ একটি ত্রিভুজকে আরেকটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে, ত্রিভুজ দুইটিকে একটি ত্রিভুজ বলে মনে হবে। দুইটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হলে তারা অবশ্যই সদৃশকোণী ত্রিভুজ। কিন্তু দুইটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ সর্বক্ষেত্রে সর্বসম নাও হতে পারে।

একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে ত্রিভুজটিকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত যেকোনো তিনটি বিন্দু পরস্পর যোগ করলে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তাকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ বলে।