সহজ করে কিছু শেখা

আয়তাকার ঘনবস্তু কাকে বলে

আয়তাকার ঘনবস্তু হলো আয়তাকার তল দ্বারা গঠিত এক প্রকার বহুতলক।

এই টিউটোরিয়ালটি শেষে -

আয়তাকার ঘনবস্তু কাকে বলে - তা ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল কি - তা বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।

আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান করতে পারা যাবে।

আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।



আয়তাকার ঘনবস্তু

যে বহুতলক পরস্পর লম্ব ছয়টি আয়তাকার তল দ্বারা গঠিত তাকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলে।

একটি আয়তাকার ঘনবস্তু চিত্র
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা

আয়তাকার তলগুলোকে আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতল বলে। প্রতিটি আয়তাকার তল ও তার বিপরীত তল দুইটি পরস্পর সর্বসম আয়তক্ষেত্র। অতএব আয়তাকার ঘনবস্তুর তিনজোড়া পরস্পর সর্বসম আয়তাকার পৃষ্ঠতল থাকে। প্রতিটি তল ও তার সন্নিহিত তল পরস্পর লম্ব। তলগুলো মিলিত হওয়ার ফলে কতগুলো ধার ও শীর্ষ উৎপন্ন হয়।


একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর অবশ্যই থাকে

  • ৬টি পৃষ্ঠতল
  • ১২টি ধার
  • ৮টি শীর্ষ


আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল

আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা চিত্র
আয়তাকার ঘনবস্তুটি তার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা দেখাচ্ছে।

আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল বলতে বুঝায় এর পৃষ্ঠতলগুলোর ক্ষেত্রফল। একটি আয়তাকার ঘনবস্তু ছয়টি আয়তাকার পৃষ্ঠতল দ্বারা গঠিত।

আবার প্রতিটি তল ও তার বিপরীত পৃষ্ঠতল সর্বসম। অতএব একটি আয়তাকার ঘনবস্তু তিন জোড়া সর্বসম আয়তাকার পৃষ্ঠতল দ্বারা তৈরি হয়।

মনে করি, একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c.

∴ উপরের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ab বর্গএকক

∴ উপরের ও নিচের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = (ab + ab) বর্গএকক

আবার, ডানের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = প্রস্থ × উচ্চতা = bc বর্গএকক

∴ বামের ও ডানের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = (bc + bc) বর্গএকক

সর্বপরি, পেছনের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × উচ্চতা = ca বর্গএকক

∴ সামনের ও পেছনের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = (ca + ca) বর্গএকক

সুতরাং, সবগুলো পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = তিনজোড়া সর্বসব পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল A হলে,

A = (ab + ab + bc + bc + ca + ca) বর্গএকক

বা, A = (2ab + 2bc + 2ca) বর্গএকক

∴ A = 2(ab + bc + ca) বর্গএকক


আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a, প্রস্থ b, উচ্চতা c এবং সমগ্রতলেরে ক্ষেত্রফল A হলে,

A = 2(ab + bc + ca) বর্গএকক


আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন

আয়তাকার ঘনবস্তুর ভূমির ক্ষেত্রফলকে উচ্চতা দিয়ে গুণ করলে আয়তন পাওয়া যায়।

একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ চিত্র
একটি আয়তাকার ঘনবস্তু চিত্র এর কর্ণ দেখাচ্ছে।

মনে করি, একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a, প্রস্থ b এবং c.

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = abc ঘন একক

আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন (= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা ) ঘন একক


আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a একক, প্রস্থ b একক, উচ্চতা c একক এবং আয়তন V হলে,

V = abc ঘন একক


আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ

প্রথমে নিচের পৃষ্ঠতলের কর্ণ নির্ণয় করি।

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a এবং প্রস্থ b হলে কর্ণ হবে a2 + b2 কারণ a, b এবং a2 + b2 বাহু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি হবে একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ a2 + b2.

চিত্রে, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ হলো d.

আবার, c, d এবং a2 + b2 বাহু তিনটি দ্বারা যে ত্রিভুজ গঠিত হয়েছে তা একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ হলো d.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

d2 = c2 + (a2 + b2)2

বা, d2 = c2 + a2 + b2

বা, d2 = a2 + b2 + c2

∴ d = a2 + b2 + c2


আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a একক, প্রস্থ b একক, উচ্চতা c একক এবং একটি কর্ণ d হলে,

d = a2 + b2 + c2 একক