আয়ত এর বৈশিষ্ট্য ও আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য

আয়তক্ষেত্রের সংজ্ঞা বিশ্লেষণ করলে আয়তক্ষেত্র সংশ্লিষ্ট কতকগুলো মৌলিক উপাদান ও আয়ত এর বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়।

আবার আয়তক্ষেত্র চিত্র ও আয়তের বিভিন্ন উপাদান যেমন আয়তক্ষেত্রের বাহু, আয়তক্ষেত্রের কোণ, আয়তক্ষেত্রের কর্ণ, আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহু, আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত কোণ, আয়তের ক্ষেত্রফল, আয়তের পরিসীমা ইত্যাদি বিশ্লেষণ করলে আয়তের বৈশিষ্ট্য সমূহ কি কি তা স্পষ্ট হয়ে ওঠে।

যদি প্রশ্ন করা হয় প্রধান প্রধান আয়তের তিনটি বৈশিষ্ট্য কি কি? আয়তের তিনটি বৈশিষ্ট্য বা প্রধান প্রধান আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য উল্লেখ ছাড়াও আয়ত চিত্র বিশ্লেষণ করে যেসব আয়ত এর বৈশিষ্ট্য পাওয়া যা নিচে তুলে ধরা হলো।

1. আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান।
2. আয়তের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ বা ৩৬০^০।
3. গুরুত্বপূর্ণ একটি আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য হলো আয়তক্ষেত্রের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
4. আয়তের পরিসীমা নির্ণয়ের সূত্র অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২×( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ ) একক।
5. আয়তের যেকোনো সন্নিহিত বাহুদ্বয় গুণ করলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
6. আয়তক্ষেত্রের যেকোনো সন্নিহিত কোণ দুইটির যোগফল দুই সমকোণ বা ১৮০^০।
7. আয়তক্ষেত্রের যেকোনো কর্ণদ্বারা যে দুইটি ত্রিভুজ গঠিত হয় তাদের প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল আয়তের ক্ষেত্রফলের অর্ধেকের সমান।
8. অন্যতম একটি আয়ত বৈশিষ্ট্য হলো আয়তের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।
9. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a একক এবং প্রস্থ b একক হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab বর্গ একক।
10. আয়তের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দুতে উৎপন্ন কোণগুলো সূক্ষ্মকোণ ও স্থুলকোণ।
11. আয়তের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
12. আয়তক্ষেত্রের যেকোনো কর্ণদ্বারা যে দুইটি ত্রিভুজ গঠিত হয় তাদের প্রত্যেকটি সমকোণী ত্রিভুজ।
13. আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সবসময়ই আয়তের অভ্যন্তরে অবস্থান করে।
14. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a একক এবং প্রস্থ b একক হলে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2×(a + b) একক।
15. সকল আয়তক্ষেত্র এক-একটি সামান্তরিক কিন্তু, সকল সামান্তরিক আয়তক্ষেত্র নয়
16. আয়তের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তখন এটি বর্গক্ষেত্র হয়ে যায়।
17. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a একক, প্রস্থ b একক এবং কর্ণ d একক হলে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং কর্ণের মধ্যে পারস্পারিক সম্পর্ক হলো d² = a² + b².
18. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র বা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
19. গুরুত্বপূর্ণ একটি আয়তের বৈশিষ্ট্য হলো আয়তের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ সমকোণ বা ৯০°।
20. আয়তের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।
21. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a একক এবং প্রস্থ b একক হলে আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(a² + b²) একক।
22. আয়তের যেকোনো কর্ণদ্বারা যে দুইটি ত্রিভুজ গঠিত হয় তারা পরস্পর সর্বসম ত্রিভুজ।
23. অন্যতম একটি আয়ত এর বৈশিষ্ট্য হলো আয়তক্ষেত্রের যেকোনো কর্ণদ্বারা যে দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয় তাদের অতিভুজ হয় ঐ আয়তের কর্ণ।
24. আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সূত্র, কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² একক।
25. আয়তক্ষেত্রের কর্ণ দুইটি দ্বারা আয়তক্ষেত্রটি যে চারটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয় তাদের ক্ষেত্রফল পরস্পর সমান।

আয়ত এর বৈশিষ্ট্য - সংক্রান্ত সচরাচর যেসব প্রশ্নসমূহ মানুষ করে থাকে।

উত্তরঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৯০° তাকে আয়ত বলে। একটি আয়ত যেসব গুণাবলী ধারণ করে সেসব গুণাবলীই আয়তের বৈশিষ্ট্য বলে অভিহিত। আয়তের অন্যতম একটি বৈশিষ্ট্য হলো আয়তের বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। আবার, আয়তক্ষেত্রের বিপরীত কোণগুলোও পরস্পর সমান। তাছাড়া, আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণের মান ৯০°। আয়তের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।

উত্তরঃ আয়ত বিশ্লেষণ করলে কতকগুলো আয়ত এর বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়। আয়তের তিনটি বৈশিষ্ট্য নিচে দেওয়া হলো।

1. আয়তক্ষেত্রের চারটি কোণের যোগফল চার সমকোণ বা ৩৬০°।
2. আয়তক্ষেত্রের কর্ণ দুইটি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
3. আয়তক্ষেত্রের বিপরীত কোণদ্বয়ের পরিমাপ পরস্পর সমান।

উত্তরঃ আয়তের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান। কিন্তু বর্গক্ষেত্রের সবগুলো বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। কিন্তু আয়তের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে না।
আয়ত ও বর্গের উভয়েরই কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
তাছাড়া, আয়ত ও বর্গের উভয়েরই প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ এক সমকোণ বা ৯০°।