একান্তর কোণ কাকে বলে

একান্তর কোণ

দু’টি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীত পাশে সমান্তরাল রেখা যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে একান্তর কোণ বলে। একান্তর কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।

চিত্রে, MN এবং OP সরলরেখা দুইটিকে QR সরলরেখা যথাক্রমে S এবং T বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে S এবং T বিন্দু হলো ছেদক রেখার সাথে দুইটি ছেদ বিন্দু। S বিন্দুতে দুইজোড়া এবং T বিন্দুতে আরও দুইজোড়া করে মোট চার জোড়া কোণ উৎপন্ন হয়েছে। QR সরলরেখাটি উভয় সরলরেখাকে ছেদ করেছে বলে QR সরলরেখাকে ছেদক রেখা বলা হয়।

∠NSR এবং ∠QTO কোণ দুইটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে, উভয় কোণের শীর্ষবিন্দুই ভিন্ন এবং উভয় কোণই ছেদক রেখা PQ এর বিপরীত পাশে অবস্থিত। তাছাড়া, উভয় কোণই অন্তঃস্থ কোণ। তাই এই কোণ দুইটি পরস্পর একান্তর কোণ। তেমনিভাবে ∠MSR এবং ∠QTP কোণ জোড়াও পরস্পর একান্তর কোণ।

এখন, ∠NSR এবং ∠QTO পরস্পর একান্তর কোণ হওয়ার কারণে তারা পরস্পর সমান।

∴ ∠NSR = ∠QTO.

আবার, ∠MSR এবং ∠QTP পরস্পর একান্তর কোণ বলে কোণ দুইটি পরস্পর সমান।

∴ ∠MSR = ∠QTP.

উপরে উল্লেখিত একান্তর কোণের সংজ্ঞা সমান্তরাল সরলরেখা বিবেচনা করে দেওয়া হয়েছে। তবে সমান্তরাল সরলরেখা ছাড়াও একান্তর কোণকে সংজ্ঞায়িত করা যায় যা একান্তর কোণের সাধারণ সংজ্ঞা বলে অভিহিত। একান্তর কোণের সাধারণ সংজ্ঞা হলো নিম্নরূপঃ

একজোড়া সরলরেখাকে আরেকটি ছেদক সরলরেখা ছেদ করলে উভয় ছেদবিন্দুতে যে চার জোড়া কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মধ্যে ভিন্ন শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট যেসব জোড়া কোণ ছেদক রেখার বিপরীত পার্শ্বে বিরাজমান এবং কোণ দুইটির উভয়েই অন্তঃস্থ কোণ অথবা উভয়েই বহিঃস্থ কোণ হয়, সেসব কোণ জোড়ার একটিকে অপরটির পরস্পর একান্তর কোণ বলে।

চিত্রে, AB এবং CD সরলরেখা দুইটিকে PQ সরলরেখা যথাক্রমে O এবং E বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে O এবং E বিন্দু হলো ছেদক রেখার সাথে দুইটি ছেদ বিন্দু। O বিন্দুতে দুইজোড়া এবং E বিন্দুতে আরও দুইজোড়া করে মোট চার জোড়া কোণ উৎপন্ন হয়েছে। PQ সরলরেখাটি উভয় সরলরেখাকে ছেদ করেছে বলে PQ সরলরেখাকে ছেদক রেখা বলা হয়।

∠BOQ এবং ∠OEC কোণ দুইটি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে, উভয় কোণের শীর্ষবিন্দুই ভিন্ন এবং উভয় কোণই ছেদক রেখা PQ এর বিপরীত পাশে অবস্থিত। তাছাড়া, উভয় কোণই অন্তঃস্থ কোণ। তাই এই কোণ দুইটি পরস্পর একান্তর কোণ। তেমনিভাবে ∠AOQ এবং ∠PED কোণ জোড়াও পরস্পর একান্তর কোণ। তবে এই দুইজোড়া কোণ হলো অন্তঃস্থ একান্তর কোণ।

আবার, ∠POA এবং ∠DEQ কোণদ্বয় পর্যালোচনা করলে দেখা যায় যে, দুইটি কোণের শীর্ষবিন্দুই ভিন্ন এবং তারা ছেদক রেখা PQ এর বিপরীত পার্শ্বে বিরাজমান। অধিকিন্তু; তারা উভয়ই বহিঃস্থ কোণ। সুতরাং, ∠POA এবং ∠DEQ কোণ দুইটি পরস্পর একান্তর কোণ।

তেমনিভাবে, ∠POB এবং ∠CEQ কোণদ্বয় পরস্পর একান্তর কোণ এবং তারা একান্তর বহিঃস্থ কোণ। তাহলে লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, একটি সরলরেখা অপর দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে দুইজোড়া একান্তর অন্তঃস্থ কোণ এবং দুইজোড়া একান্তর বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়।

একান্তর কোণকে অন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করলে দাঁড়ায়ঃ

দুইটি সরলরেখাকে অপর একটি ছেদক সরলরেখা ছেদ করলে উভয় ছেদবিন্দুতে যে চার জোড়া বা আটটি কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মধ্যে প্রত্যেক জোড়ার অন্তর্গত কোণদ্বয়কে পরস্পর একান্তর কোণ বলা হয় যদি ও কেবল যদি তারা নিচের শর্তসমূহ পূর্ণ করেঃ

• কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু ভিন্ন হয়।
• কোণ দুইটি ছেদকের বিপরীত পাশে অবস্থান করে।
• কোণ দুইটির উভয়েই অন্তঃস্থ কোণ অথবা উভয়েই বহিঃস্থ কোণ হয়।

এরূপ চার জোড়া কোণ বিরাজমান।

একান্তর কোণকে বিশ্লেষণ করলে যে দুই রকম একান্তর কোণ পাওয়া যায়, তা হলোঃ

• অন্তঃস্থ একান্তর
• বহিঃস্থ একান্তর কোণ

অন্তঃস্থ একান্তর কোণ

দুইটি সরলরেখাকে তৃতীয় আরেকটি রেখা ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে যে দুই জোড়া অন্তঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মধ্যে যদি প্রত্যেক জোড়ার অন্তঃস্থ কোণের শীর্ষবিন্দু ভিন্ন এবং তারা ছেদক রেখার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত সেইসব প্রত্যেক জোড়ার অন্তর্গত একটি কোণকে অপরটির পরস্পর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ বলে।

চিত্রে, ∠MSR এবং ∠PTQ কোণ দুইটি পরস্পর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ। তেমনিভাবে, ∠NSR এবং ∠OTQ কোণদ্বয় পরস্পর অন্তঃস্থ একান্তর কোণ।

বহিঃস্থ একান্তর কোণ

দুইটি সরলরেখাকে আরেকটি রেখা ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে যে দুই জোড়া বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মধ্যে যদি প্রত্যেক জোড়ার বহিঃস্থ কোণের শীর্ষবিন্দু ভিন্ন হয় এবং তারা ছেদক রেখার বিপরীত পাশে অবস্থান করে সেইসব প্রত্যেক জোড়ার অন্তর্গত একটি কোণকে অপরটির পরস্পর বহিঃস্থ একান্তর কোণ বলে।

চিত্রে, ∠NSQ এবং ∠OTR কোণ দুইটি পরস্পর বহিঃস্থ একান্তর কোণ। তেমনিভাবে, ∠MSQ এবং ∠PTR কোণদ্বয় পরস্পর বহিঃস্থ একান্তর কোণ বলে।

উল্লেখ্য, একান্তর কোণের ক্ষেত্রে ছেদক রেখা ব্যতীত অপর সরলরেখা দুইটিকে পরস্পর সমান্তরাল হতেই হবে - এমন কোনো শর্ত নেই। তবে অপর রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হলে একান্তর কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।

একান্তর কোণের বৈশিষ্ট্য

নিচে একান্তর কোণের কতকগুলো বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা হলোঃ

• একান্তর কোণদ্বয়ের শীর্ষবিন্দু ভিন্ন হয়।
• একান্তর কোণ দুইটি পরস্পর সমান হলে ছেদক রেখা ব্যতীত অপর রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হয়।
• একান্তর কোণদ্বয় ছেদক রেখার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে।
• একান্তর কোণের অভ্যন্তরস্থ বিন্দু কখনও সাধারণ হতে পারে না।
• একান্তর কোণদ্বয়ের একটি কোণ অন্তঃস্থ হলে অপর কোণটিও অন্তঃস্থ কোণ হয়।
• ছেদক রেখাটি প্রত্যেকটি সরলরেখার উপর লম্ব হলে একান্তর কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৯০^০ বা এক সমকোণ হয়।
• একান্তর কোণদুইটি একই সমতল বিশিষ্ট হয় অর্থাৎ, তারা একই সমতলে অবস্থান করে।
• ছেদক রেখা ব্যতীত অপর রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হলে একান্তর কোণ দুইটি পরস্পর সমান হয়।
• একান্তর কোণদ্বয়ের একটি কোণ বহিঃস্থ হলে অপর কোণটিও বহিঃস্থ কোণ হয়।
• যেকোনো একজোড়া একান্তর কোণের একটি কোণ অপর কোণের সমান হলে, প্রত্যেক জোড়ার একটি কোণ অপর কোণের সমান হয়।