সহজ করে কিছু শেখা

অনুরূপ কোণ কাকে বলে

এই টিউটোরিয়ালটি শেষে -

অনুরূপ কোণ কাকে বলে - তা বর্ণনা করতে পারা যাবে।

অনুরূপ কোণ কাকে বলে চিত্র সহ ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

একান্তর কোণ ও অনুরূপ কোন কাকে বলে তার তুলনামূলক বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।

অনুরূপ কোণের বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করতে পারা যাবে।



অনুরূপ কোণ

দুটি সমান্তরাল সরল রেখাকে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে ছেদকের একই পাশে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে অনুরূপ কোণ বলে। অন্যভাবে বললে, দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার একই দিকে সমান্তরাল রেখার পাশে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে অনুরূপ কোণ বলে।

দুই জোড়া অনুরূপ কোণ চিত্র
দুই জোড়া অনুরূপ কোণ

চিত্রে, PQ এবং RS পরস্পর দুইটি সমান্তরাল সরলরেখাকে MN সরলরেখা যথাক্রমে O এবং T বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে, O বিন্দুতে চারটি কোণ এবং T বিন্দুতে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। O বিন্দুতে ∠MOQ এবং T বিন্দুতে ∠OTS উৎপন্ন হয়েছে। এভাবে উৎপন্ন ∠MOQ এবং ∠OTS পরস্পর অনুরূপ কোণ।

অনুরূপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান। সুতরাং, ∠MOQ = অনুরূপ ∠OTS.
∴ ∠MOQ = ∠OTS.

আবার, O বিন্দুতে ∠MOP এবং T বিন্দুতে ∠OTR তৈরি হয়েছে। এভাবে উৎপন্ন ∠MOP এবং ∠OTR কোণ দুইটি পরস্পর অনুরূপ কোণ।

আবার, অনুরূপ কোণ দুইটি পরস্পর সমান বলে, ∠MOP = অনুরূপ ∠OTR.
অতএব, ∠MOP = ∠OTR.

লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, উভয় অনুরূপ কোণ যুগলের ক্ষেত্রে, অনুরূপ কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু ভিন্ন। অর্থাৎ, অনুরূপ কোণ দুইটির একটির শীর্ষবিন্দু O এবং অপরটির শীর্ষবিন্দু T. আবার অনুরূপ কোণ দুইটি ছেদকের একই পাশে অবস্থিত। অর্থাৎ, হয় অনুরূপ কোণ দুইটি ছেদকের ডানপাশে অবস্থিত অথবা অনুরূপ কোণ দুইটি ছেদকের বামপাশে অবস্থিত।

তাছাড়া, আরও লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, অনুরূপ কোণ দুইটির একটি অন্তঃস্থ কোণ এবং একটি বহিঃস্থ কোণ। এখানে, ∠MOQ ও ∠OTS অনুরূপ কোণদ্বয়ের মধ্যে ∠MOQ হলো বহিঃস্থ কোণ এবং ∠OTS হলো অন্তঃস্থ কোণ। আবার, ∠MOP ও ∠OTR অনুরূপ কোণদ্বয়ের মধ্যে ∠MOP হলো বহিঃস্থ কোণ এবং ∠OTR হলো অন্তঃস্থ কোণ।

অনুরূপ কোণ কাকে বলে - এ প্রশ্নের উত্তর বা অনুরূপ কোণের সংজ্ঞা আরও ভিন্নভাবে ও পরিশীলিত আকারে দেওয়া যায়। তাহলে অনুরূপ কোণের পরিশীলিত সংজ্ঞা নিম্নরূপঃ

দুইটি সমান্তরাল সরলরেখাকে অপর একটি ছেদক রেখা ছেদ করলে যে চার জোড়া কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মধ্যে ভিন্ন শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট যেসব জোড়া কোণ ছেদকের একই পাশে অবস্থিত এবং কোণ দুইটির একটি বহিঃস্থ কোণ এবং অপরটি অন্তঃস্থ কোণ হয়, সেই কোণ জোড়াকে পরস্পর অনুরূপ কোণ বলে।

অনুরূপ কোণকে আরেকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় - তা হলোঃ

দুইটি সমান্তরাল সরলরেখাকে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে যে চার জোড়া বা আটটি কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মধ্যে প্রত্যেক জোড়ার অন্তর্গত কোণ দুইটিকে পরস্পর অনুরূপ কোণ বলা হয় যদি ও কেবল যদি তারা নিচের শর্তগুলো পূরণ করেঃ

  • কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু আলাদা হয়।
  • কোণ দুইটির উভয়েই ছেদকের একই পাশে অবস্থান করে।
  • কোণ দুইটির একটি বহিঃস্থ কোণ এবং অপরটি অন্তঃস্থ কোণ হয়।

এরূপ চার জোড়া অনুরূপ কোণ পাওয়া যায়।

চিত্রে, AB এবং CD সরলরেখা দুইটিকে EF সরলরেখা যথাক্রমে G এবং H বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে G এবং H বিন্দু হলো ছেদক রেখার সাথে দুইটি ছেদ বিন্দু। G বিন্দুতে দুইজোড়া বা চারটি এবং H বিন্দুতে আরও দুইজোড়া বা আরও চারটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। ফলে, মোট চার জোড়া বা আটটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। EF সরলরেখাটি উভয় সরলরেখাকে ছেদ করেছে বলে EF সরলরেখাকে ছেদক রেখা বলা হয়।

চার জোড়া অনুরূপ কোণ চিত্র
চার জোড়া অনুরূপ কোণ

∠EGB এবং ∠GHD কোণ দুইটি লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে, উভয় কোণের শীর্ষবিন্দুই আলাদা অর্থাৎ, একটির শীর্ষবিন্দু G এবং অপরটির শীর্ষবিন্দু H. আবার, উভয় কোণই ছেদক রেখা EF এর একই পাশে অবস্থিত অর্থাৎ, EF এর ডানপাশে অবস্থিত। তাছাড়া, কোণ দুইটির একটি অন্তঃস্থ কোণ এবং অপরটি বহিঃস্থ কোণ অর্থাৎ, ∠EGB বহিঃস্থ কোণ এবং ∠GHD অন্তঃস্থ কোণ। একারণে এই কোণ দুইটি পরস্পর অনুরূপ কোণ।

সুতরাং, ∠EGB = অনুরূপ ∠GHD

আবার, ∠EGA ও ∠GHC কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু ভিন্ন, ছেদকের একইপাশে বা বামপাশে অবস্থিত এবং কোণ দুইটির একটি বহিঃস্থ কোণ এবং অপরটি অন্তঃস্থ কোণ।

সুতরাং, ∠EGA = অনুরূপ ∠GHC.

একইভাবে, ∠BGH = অনুরূপ ∠DHF এবং
∠AGH = অনুরূপ ∠CHF

লক্ষ্য করা যাচ্ছে যে, এরূপ চারজোড়া অনুরূপ কোণ রয়েছে।

অনুরূপ কোণের বৈশিষ্ট্য

অনুরূপ কোণের সংজ্ঞা বিশ্লেষণ করেলে কতকগুলো অনুরূপ কোণের বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়। আবার, অনুরূপ কোণ চিত্র বিশ্লেষণ করেলে কতকগুলো অনুরূপ কোণ এর বৈশিষ্ট্য খুঁজে পাওয়া যায়। অনুরূপ কোণের সংজ্ঞা ও অনুরূপ কোণ চিত্র বিশ্লেষণ করে অনুরূপ কোণের বৈশিষ্ট্য কয়টি নিচে উল্লেখ করা হলো:

  • অনুরূপ কোণ দুইটি শীর্ষবিন্দু ভিন্ন হয়।
  • অনুরূপ কোণ দুইটির একটি সূক্ষ্মকোণ হলে অপর কোণটিও সূক্ষ্মকোণ হয়।
  • অনুরূপ কোণ দুইটি ছেদক রেখার একই পার্শ্বে অবস্থান করে।
  • দুইটি অনুরূপ কোণের অভ্যন্তরস্থ বিন্দু কখনও সাধারণ হতে পারে না।
  • অনুরূপ কোণ দুইটির মধ্যে একটি কোণ অন্তঃস্থ হলে অপর কোণটি অবশ্যই বহিঃস্থ কোণ হয়।
  • ছেদক রেখাটি প্রত্যেকটি সরলরেখার উপর লম্ব হলে অনুরূপ কোণ দুইটির প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৯০ বা এক সমকোণ হয়।
  • অনুরূপ কোণ দুইটির একটি স্থুলকোণ হলে অপর কোণটিও স্থুলকোণ হয়।
  • অনুরূপ কোণ দুইটি একই সমতল বিশিষ্ট হয় অর্থাৎ, অনুরূপ কোণ দুইটি সমতলে অবস্থান করে।

সচরাচর যেসব প্রশ্ন করা হয়ে থাকে - Frequently Asked Questions (FAQ)

অনুরূপ কোণ সংশ্লিষ্ট সচরাচর যেসব প্রশ্নসমূহ মানুষ করে থাকে।

প্রশ্ন ১. অনুরূপ কোণ কাকে বলে

উত্তরঃ দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা ছেদ করলে ছেদকের একই পাশে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে অনুরূপ কোণ বলে।

প্রশ্ন ২. অনুরূপ কোণ কাকে বলে চিত্র সহ
অনুরূপ কোণ চিত্র
অনুরূপ কোণ

উত্তরঃ দুইটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা ছেদ করলে যে চার জোড়া কোণ তৈরি হয়, তাদের মধ্যে প্রতি জোড়ার অন্তর্গত কোণ দুইটিকে পরস্পর অনুরূপ কোণ বলা হয় যদি ও কেবল যদি তারা নিচের শর্তগুলো পূরণ করেঃ

  • কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু ভিন্ন হয়।
  • কোণ দুইটির উভয়েই ছেদকের একই পাশে অবস্থিত হয়।
  • কোণ দুইটির একটি অন্তঃস্থ কোণ এবং অপরটি বহিঃস্থ কোণ হয়।

অনুরূপ কোণদ্বয় দুইটি পরস্পর সমান।
এখানে, ∠QOM = অনুরূপ ∠STM এবং
∠POM = অনুরূপ ∠RTM.

প্রশ্নঃ ৩. একান্তর কোণ ও অনুরূপ কোণ কাকে বলে

উত্তরঃ একান্তর কোণ: দুইটি সমান্তরাল সরলরেখাকে অপর একটি সরলরেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীত পাশে সমান্তরাল সরলরেখা যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে একান্তর কোণ বলে। একান্তর কোণদুইটি পরস্পর সমান।

অনুরূপ কোণ: একটি রেখা অপর দুইটি সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করলে ছেদকের একই দিকে একটি অন্তঃস্থ ও একটি বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে অনুরূপ কোণ বলে। অনুরূপ কোণযুগল পরস্পর সমান হয়।

প্রশ্নঃ ৪. অনুরূপ কোণের বৈশিষ্ট্য

উত্তরঃ অনুরূপ কোণের অন্যতম তিনটি বৈশিষ্ট্য হলো:

  1. অনুরূপ কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু আলাদা হয়।
  2. অনুরূপ কোণ দুইটি ছেদক রেখার একই পাশে অবস্থিত হয়।
  3. অনুরূপ কোণ দুইটির একটি অন্তঃস্থ কোণ এবং অপরটি বহিঃস্থ কোণ হয়।