ট্রাপিজিয়াম এর বৈশিষ্ট্য

চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল হলে তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু, সমান্তরাল বাহু, কর্ণ, ক্ষেত্রফল, ট্রাপিজিয়ামের দ্বিমধ্যমা (bimedian)ইত্যাদির উপর ভিত্তি করে ট্রাপিজিয়াম এর বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়। আবার, ট্রাপিজিয়ামের সন্নিহিত বাহু, সন্নিহিত কোণ, পরিসীমা ইত্যাদি বিশ্লেষণ করলেও ট্রাপিজিয়াম এর বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করা যায়। নিচে ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য সমূহকে একত্রে উল্লেখ করা হলো:

1. ট্রাপিজিয়ামের একজোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল।
2. ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক বা ১৮০^০।
3. ট্রাপিজিয়ামের একজোড়া বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু দুইটি এবং এর কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু একই রেখায় অবস্থিত।
4. সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
5. ট্রাপিজিয়ামের একটি বাহু ও কর্ণের অন্তর্ভূক্ত কোণ ঐ বাহুর বিপরীত বাহু ও একই কর্ণের অন্তর্ভূক্ত কোণ দুইটি পরস্পর সমান।
6. ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম হলে sinA sinC = sinB sinD সম্পর্কটি সবসময়ই সত্য হয়।
7. ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ দুইটি পরস্পরকে একই অনুপাতে বিভক্ত করে।
8. বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো ট্রাপিজিয়ামের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
9. ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টিকে এর উচ্চতা দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলকে অর্ধেক করলে ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
10. ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বিপরীত বাহু দুইটির মধ্যবর্তী দুরত্বই এর উচ্চতা বলে বিবেচিত হয়।
11. ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় AB = a ও CD = b; অপর বাহুদ্বয় BC = c ও DA = d এবং কর্ণদ্বয় AC = e ও BD = f হলে e² + f² = c² + d² + 2ab সম্পর্কটি সবসময়ই সত্য হয়।
12. ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় দ্বারা ট্রাপিজিয়ামটি যে চারটি ত্রিভুজে বা বিষমবাহু ত্রিভুজ -এ বিভক্ত হয়, তাদের মধ্যে একজোড়া বিপরীত ত্রিভুজ পরস্পর সদৃশ।
13. সমান্তরাল বাহু ব্যতীত অপর দুইটি বাহুকে ট্রাপিজিয়ামের পা (legs) বলে।
14. ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ দুইটি ট্রাপিজিয়ামটিকে যে চারটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয়, তাদের মধ্যে একজোড়া বিপরীত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পরস্পর সমান।
15. ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা জানা থাকলে ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
16. ABCD ট্রাপিজিয়ামের একজোড়া সন্নিহিত কোণের কোসাইন (cosine) এর সমষ্টি শুণ্য অর্থাৎ, cosA + cosB = 0. কারণ cosA + cosB = cosA + cos(১৮০°-A) = cosA - cosA = 0. ফলে অপর দুইটি সন্নিহিত কোণের কোসাইন (cosine) এর সমষ্টিও শুণ্য অর্থাৎ, cosC + cosD = 0.
17. ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ দুইটি পরস্পরকে যে অনুপাতে বিভক্ত করে সেই অনুপাতটি, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অনুপাতের সমান।
18. বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোন ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ঐ ট্রাপিজিয়ামের বিপরীত বাহুদ্বয় দ্বারা গঠিত দুইটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
19. ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় দ্বারা ট্রাপিজিয়ামটি যে চারটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয়, তাদের মধ্যে একজোড়া বিপরীত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যদি X বর্গ একক ও Y বর্গ একক এবং ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হয়, তাহলে √A = √X + √Y.
20. ট্রাপিজিয়ামের বিপরীত বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশকে দ্বিমধ্যমা (bimedian) বলে।
21. ট্রাপিজিয়ামের একটি দ্বিমধ্যমা (bimedian) ট্রাপিজিয়ামটিকে দুইটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট চতুর্ভুজ এ বিভক্ত করে।
22. ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল।
23. ABCD ট্রাপিজিয়ামের একজোড়া সন্নিহিত কোণের কোটেন্জেন্ট (cotangent) এর সমষ্টি শুণ্য অর্থাৎ, cotA + cotB = 0. কারণ cotA + cotB = cotA + cot(180°-A) = cotA - cotA = 0. ফলে অপর দুইটি সন্নিহিত কোণের কোটেন্জেন্ট (cotangent) এর সমষ্টিও শুণ্য অর্থাৎ, cotC + cotD = 0.
24. ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক।
25. ট্রাপিজিয়ামের একটি কর্ণ দ্বারা ট্রাপিজিয়ামটি যে দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয় তাদের ক্ষেত্রফলের গুণফল, অপর কর্ণ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ দুইটির ক্ষেত্রফলের গুণফলের সমান।
26. ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তখন এটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম হয়ে যায়।
27. ট্রাপিজিয়ামের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু চারটি যোগ করলে যে চতুর্ভুজটি উৎপন্ন হয় তা একটি সামান্তরিক।
28. ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল।
29. সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।
30. ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য, এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের বিয়োগফলের অর্ধেক।
31. ট্রাপিজিয়ামের সন্নিহিত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সমকোণ বা ৯০° হলে, তখন এটি সমকোণী ট্রাপিজিয়াম (right trapezium) হয়ে যায়।
32. কোন ট্রাপিজিয়ামের বিপরীত কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক হলে তার শীর্ষ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত হয়। অর্থাৎ শীর্ষ বিন্দু চারটি দিয়ে অতিক্রান্ত একটি অনন্য বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
33. ট্রাপিজিয়ামের বৃহত্তম ভূমি-বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ হলে তখন এটি সূক্ষ্মকোণী ট্রাপিজিয়াম হয়ে যায়।
34. ট্রাপিজিয়ামের বৃহত্তম ভূমি-বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির একটি সূক্ষ্মকোণ এবং একটি স্থুলকোণ হলে তখন এটি স্থুলকোণী ট্রাপিজিয়াম হয়ে যায়।
35. ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি জানা থাকলে এর কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়।
36. বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোন ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ দুইটি যদি পরস্পর লম্ব হয়, তবে তাদের ছেদ বিন্দু হতে কোন বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

ট্রাপিজিয়াম এর বৈশিষ্ট্য সংক্রান্ত সচরাচর যেসব প্রশ্নসমূহ মানুষ করে থাকে।

উত্তরঃ যে চতুর্ভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে। নিচে কয়েকটি ট্রাপিজিয়াম এর বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা হলো:

1. ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল।
2. সমকোণী ট্রাপিজিয়ামের একটি কোণের পরিমাপ ৯০° বা সমকোণ।
3. ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ।

উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বিশ্লেষণ করলে কতকগুলো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম এর বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়। নিচে সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম এর বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা হলো।

1. সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
2. সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
3. সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির পরিমাপ পরস্পর সমান।

উত্তরঃ নিচে ট্রাপিজিয়াম এর তিনটি বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা হলো।

1. ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহু সংলগ্ন কোণ দুইটির সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০^০।
2. বৃত্তে অন্তর্লিখিত ট্রাপিজিয়ামের বিপরীত কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ।
3. ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় একে অপরকে একই অনুপাতে বিভক্ত করে।

উত্তরঃ ট্রাপিজিয়াম এর বৈশিষ্ট্য ক্লাস ৫ এর উপযোগী করে নিচে উল্লেখ করা হলো:

1. বিষমবাহু ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল এবং অপর বাহু দুইটি পরস্পর অসমান্তরাল।
2. বিষমবাহু ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ দুইটি পরস্পর অসমান।
3. সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।