সহজ করে কিছু শেখা

প্রবৃদ্ধ কোণ কাকে বলে

এই টিউটোরিয়ালটি শেষে -

প্রবৃদ্ধ কোণ কাকে বলে তা বর্ণনা করতে পারা যাবে।

প্রবৃদ্ধ কোণ কাকে বলে চিত্র সহ তা ব্যাখ্যা করতে পারা যাবে।

প্রবৃদ্ধ কোণের মান কত তা বলতে পারা যাবে।

প্রবৃদ্ধ কোণ কত ডিগ্রী তা বিশ্লেষণ করতে পারা যাবে।



প্রবৃদ্ধ কোণ

দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। অন্যভাবে বললে, ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

অতএব, প্রবৃদ্ধ কোণ কাকে বলে - এ প্রশ্নের পরিশীলিত উত্তর অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ কোণের পরিশীলিত সংজ্ঞাটি দাঁড়ায়,
দুই সমকোণ বা ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ বা ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

দুইটি ভিন্ন পরিমাপের প্রবৃদ্ধ কোণ চিত্র
ভিন্ন পরিমাপের একজোড়া প্রবৃদ্ধ কোণ

১ম চিত্রে, OA রশ্মি এবং OB রশ্মি পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। ফলে, বৃত্তচাপ চিহ্নিত ∠AOB উৎপন্ন হয়েছে। আবার, OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু O; এবং OC রশ্মি ও OA রশ্মি পরস্পর বিপরীত রশ্মি হওয়ার কারণে OA ও OC একই সরলরেখা

∴ ∠COA = সরলকোণ।
অর্থাৎ, ∠COA = ১৮০°।

এখন ১ম চিত্রে, বৃত্তচাপ চিহ্নিত ∠AOB = ∠COA + ∠BOC

বা, বৃত্তচাপ চিহ্নিত ∠AOB = ১৮০° + ∠BOC

∴ ∠AOB > ১৮০°

সুতরাং, ∠AOB একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

আবার ২য় চিত্রে, OP রশ্মি এবং OR রশ্মি পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। ফলে, বৃত্তচাপ চিহ্নিত ∠POQ উৎপন্ন হয়েছে। আবার, OR রশ্মির প্রান্তবিন্দু O; এবং OR রশ্মি ও OP রশ্মি পরস্পর বিপরীত রশ্মি হওয়ার কারণে OP ও OR একই সরলরেখা।

∴ ∠ROP = সরলকোণ।
অর্থাৎ, ∠ROP = ১৮০°।

এখন ২য় চিত্রে, বৃত্তচাপ চিহ্নিত ∠POQ = ∠ROP + ∠QOR

বা, বৃত্তচাপ চিহ্নিত ∠POQ = ১৮০° + ∠QOR

∴ ∠POQ > ১৮০°

সুতরাং, ∠POQ একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রবৃদ্ধ কোণের সংজ্ঞা থেকে পাওয়া যায়, প্রবৃদ্ধ কোণের পরিমাপ সরলকোণ বা ১৮০° থেকে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট। অতএব, ১৮০.১°, ১৮১°, ১৯০°, ২০০°, ২১০°, ২২০°, ২৩০°, ২৪০°, ২৫০°, ২৬০°, ২৭০°, ২৮০°, ২৯০°, ৩০০°, ৩১০°, ৩২০°, ৩৩০°, ৩৪০°, ৩৫০°, ৩৫৫°, ৩৫৯°, ৩৫৯.৯° ইত্যাদি এরা সবাই এক-একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

একটি সরলকোণের সাথে ১৮০° অপেক্ষা ছোট যেকোনো একটি কোণ যোগ করলে প্রবৃদ্ধ কোণ তৈরি হয়। তাহলে বলা যায়:

  • একটি সরলকোণের সাথে একটি সূক্ষ্মকোণ যোগ করলে প্রবৃদ্ধ কোণ তৈরি হয়।
  • একটি সরলকোণের সাথে একটি সমকোণ যোগ করলে প্রবৃদ্ধ কোণ তৈরি হয়।
  • একটি সরলকোণের সাথে একটি স্থূলকোণ যোগ করলে প্রবৃদ্ধ কোণ তৈরি হয়।

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে,

  • সরলকোণ + সূক্ষ্মকোণ = প্রবৃদ্ধ কোণ
  • সরলকোণ + সমকোণ = প্রবৃদ্ধ কোণ
  • সরলকোণ + স্থূলকোণ = প্রবৃদ্ধ কোণ

যেকোনো সূক্ষ্মকোণ বা সমকোণ বা স্থূলকোণের জন্য একটি প্রবৃদ্ধ কোণ থাকে।

মনেকরি, যেকোনো সূক্ষ্মকোণ বা সমকোণ বা স্থূলকোণের পরিমাপ ∠x এবং প্রবৃদ্ধ কোণের পরিমাপ ∠r.

তাহলে, ∠x + ∠r = 360°

∴ ∠r = 360° - ∠x

∠x যেকোনো সূক্ষ্মকোণ বা সমকোণ বা স্থূলকোণ হলে তার জন্য
প্রবৃদ্ধ কোণ ∠r = 360° - ∠x.


সচরাচর যেসব প্রশ্ন করা হয়ে থাকে - Frequently Asked Questions (FAQ)

প্রবৃদ্ধ কোণ সংশ্লিষ্ট সচরাচর যেসব প্রশ্নসমূহ মানুষ করে থাকে।

প্রশ্ন ১. প্রবৃদ্ধ কোণ কাকে বলে

উত্তরঃ যে কোণের পরিমাপ ১৮০° থেকে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
সুতরাং, ১৮০° < প্রবৃদ্ধ কোণ < ৩৬০°।

প্রশ্ন ২. প্রবৃদ্ধ কোণ কাকে বলে চিত্র সহ
একটি প্রবৃদ্ধ কোণ চিত্র
প্রবৃদ্ধ কোণ চিত্র

উত্তরঃ সরলকোণ অপেক্ষা বড় এবং চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। আবার বলা যায়, দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় এবং চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
অতএব, দুই সমকোণ < প্রবৃদ্ধ কোণ < চার সমকোণ।

প্রশ্নঃ ৩. প্রবৃদ্ধ কোণের মান কত

উত্তরঃ প্রবৃদ্ধ কোণের মান কত - এ প্রশ্নের উত্তরে বলা যায়, প্রবৃদ্ধ কোণের সর্বনিম্ন মান সরলকোণ থেকে বড় এবং সর্বোচ্চ মান চার সমকোণ বা পূর্ণকোণ থেকে ছোট। তাহলে, একটি সরলকোণের সাথে একটি সূক্ষ্মকোণ যোগ করলে প্রবৃদ্ধ কোণ উৎপন্ন হয়। আবার, একটি সরলকোণের সাথে একটি সমকোণ বা স্থুলকোণ যোগ করলেও প্রবৃদ্ধ কোণ উৎপন্ন হয়। সুতরাং,

  • প্রবৃদ্ধ কোণ = সরলকোণ + সূক্ষ্মকোণ
  • প্রবৃদ্ধ কোণ = সরলকোণ + সমকোণ
  • প্রবৃদ্ধ কোণ = সরলকোণ + স্থূলকোণ
প্রশ্নঃ ৪. প্রবৃদ্ধ কোণ কত ডিগ্রী

উত্তরঃ প্রবৃদ্ধ কোণ কত ডিগ্রী কথাটির অর্থ হলো প্রবৃদ্ধ কোণের পরিমাপ কত ডিগ্রি থেকে কত ডিগ্রির মধ্যে হয়। প্রবৃদ্ধ কোণের পরিমাপ ১৮০° থেকে ৩৬০° এর মধ্যে হয়। অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ কোণের পরিমাপ ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট যেকোনো পরিমাপের কোণ। যেমন: ১৮৫°, ১৯১°, ১৯০°, ১৯৯°, ২০০°, ২১৫°, ২২৫°, ২৫০°, ২৬৫°, ২৭১°, ২৮২°, ২৯৩°, ৩০০°, ৩২৬°, ৩২৯°, ৩৪০°, ৩৫০°, ৩৫৯°, ৩৫৯.৯৯° ইত্যাদি এরা সবাই এক-একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।